实用数学方法：层次分析法求解步骤

层次分析法的基本步骤如下：

第一步：建立层次分析结构模型。

应用AHP分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次，上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类：

（1）最高层也称目标层。这一层次中只有一个元素，一般来说它是层次分析法要达到的总目标。

（2）中间层也称准则层或策略层，是实现预定目标采取的某种原则、策略、方式等中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则。

（3）最底层也称措施层或方案层。这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。

可以利用框图来描述层次的递阶结构与诸因素的从属关系，建立的层次结构模型如图9.2.4所示。

图9.2.4　层次结构模型

第二步：构造判断矩阵。

用成对比较法和1—9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比矩阵。

第三步：层次单排序及其一致性检验。

判断矩阵A的最大特征根对应的特征向量记为W，W经归一化后即为同一层次相应元素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这过程称为层次单排序。

第四步：层次总排序及其一致性检验。

（1）确定各层次互相比较的方法—— 成对比矩阵和权向量。

在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法来确定影响其因素的诸因子在该因素中所占的比重。如针对图10-4中准则1，将方案1与方案2，方案1与方案3，……，方案1与方案n，方案2与方案3，……，方案n-1与方案n等分别做比较，从而得到判断矩阵A=(aij )n ×n，这样n个准则就有n个判断。同样，对于目标层亦可构造相应的判断矩阵。

判断矩阵A的元素的值反映了人们对各因素相对重要性的认识。如何确定aij的值，Saaty等建议引用数字1—9及其倒数作为标度。表9.2.1列出了1—9标度的含义。

表9.2.1　评价标度的含义

容易看出，判断矩阵A中的元素满足下列关系：

上述构造判断矩阵的办法虽然能减少其他因素的干扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别。但综合比较全部结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。

例如：在旅游决策问题中，判断矩阵A为

容易证明，正互反矩阵和一致矩阵有如下性质。

定理1 正互反矩阵A的最大特征根λmax必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。其余特征根的模均严格小于λmax。

定理2 若A为一致矩阵，则

① A必为正互反矩阵。

② A的转置矩阵也是一致矩阵。

③ A的任意两行（列）成比例，比例因子大于零，从而rank（A）=1。

④ A的最大特征值λm ax=n，其余特征根均为零，其中n为矩阵A的阶。(www.xing528.com)

定理3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根λm ax=n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λm ax＞n。

（2）一致性检验。

根据定理3，可以由λmax是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于aij，故λmax比n大得越多，A的非一致性程度就越严重，所以有必要对判断矩阵做一致性检验，以决定是否能接受它。

对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：

① 计算一致性指标。

② 查找相应的平均随机一致性指标（RI）。对n=1, …, 9, Saaty给出了RI的值，如表9.2.2所示。

表9.2.2　平均随机一致性指标RI

用随机方法构造500个样本矩阵：随机地在1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值λm′ax，并定义在

③ 计算一致性比例。

当CR＜0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则，对判断矩阵作适当的修正。

（3）层次总排序及其一致性检验。

层次单排序得到的是一组元素对其上一层中某元素的权向量，我们最终要得到各元素，特别是最底层中各方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。为此要做层次总排序，总排序权重应自上而下地将单准则下的权值进行合成。

设上一层次（A层）包含A1 ,A2,…,Am 共m个因素，它们的层次总排序权重分别为A1 ,A2,…,Am 。设其后的下一层次（B层）包含n个因素B1 ,B2,…,Bm, 它们关于Aj的层次单排序权重分别为b1j,…,bnj （当Bi与Aj无关联时，bij=0）。现求B层中各因素关于总目标的权重，即求B层各因素的层次总排序权重b1,…,bn，计算按表9.2.3进行，即

表9.2.3　总层次排序权值表

对层次总排序也需做一致性检验，检验仍像层次总排序那样由高层向低层逐层进行。设B层中与Aj相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为CI(j)(j=1,2,…,m)，相应的平均随机一致性指标为RI(j)(CI(j),RI(j)已在层次单排序时求出），则B层总排序随机一致性比例为

当CR＜0.1时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。

（4）利用MATLAB求解层次分析模型。

function AHP(A) %层次分析法

n=length(A); %输入变量：判断矩阵A

%幂法迭代求最大特征值和相应的特征向量

x=ones(n, 1)/n; Err=1; Tol=10^-4;