趣味几何学：揭秘方圆问题的解答

对于“方圆问题”，你一定不会陌生。早在两千多年前，它就是令数学家们绞尽脑汁想要解出的几何难题。在读者中，或许也有人想要解出这道题。但更多的人不明白这道题究竟难在何处。有的人只知道这个问题难解，却不知道它的难解之处在哪里。

其实数学中有很多难题看上去比方圆问题更有趣，但它们都不如方圆问题那样出名。数不清的杰出的数学大师和业余爱好者在这两千多年中为了解开这道题而费尽心力。

要解方圆问题，首先要有一个与给出的圆面积完全相等的正方形。人们在日常生活中也经常遇到这样的问题，而且也把它解了出来，只是精确程度不同而已。但这个题目要求的是作出一个和已知圆面积完全相等的正方形图，可以用这两种方法：（1）以一个已知点为圆心作出已知圆半径的圆；（2）通过两个已知点作一条直线。

也就是说，完成这个作图过程，只需要圆规和直尺两种工具。

数学界以外的人都认为这道难题之所以困难，是因为π值无法用有限数来表示。其实只有在题目的解答方法取决于π值的特殊性时，这种看法才是有道理的。其实要把一个矩形变成和它面积完全相等的正方形是很简单的事。而方圆问题最大的难点就是要把一个圆变成和它面积相等的矩形。也就是说，要用圆规和直尺作出两个面积完全相等的圆和矩形。圆的面积公式为S＝πr2,也可以写成是S＝πr×r，由公式可以把圆的面积看成是一个矩形的面积，后面这个公式中，r为一条边,另一条边则是r的π倍。这就是难点，要作一条是已知线段π倍的线段，π的值不是不是3.14，也不是3.141 59，而是一个没有穷尽的数字。

早在18世纪时，π的无理数性质^[3]就被数学家兰贝特和勒让德证实了。但那些想要求解方圆问题的爱好者们虽然了解π的无理数性质，但仍旧义无反顾地继续自己的求解之路。他们总认为π的无理数性质给解答这个题目带来无法改变的影响。有些无理数的确可以比较精确地用几何学作图作出来，比如说要作一条线段，要求是已知线段的倍，和π值一样，也是无理数。虽然这样，但这个题目是非常简单的，只要以已知线段为边长作一个正方形，那么它的对角线就是它边长的倍。

假设一个圆中的内接等边三角形的边长为a，那么你可以轻松地作出a 线段。看下面这个无理式，根据这个无理式作图，其实这个问题看起来难，作起来是很简单的：

根据这个无理式作出的图是一个正六十四边形。

要根据无理式作图，有时候是可以用到圆规和直尺作图的。方圆问题难解的原因不完全因为π值是无理数，也由于π值不是代数学的一个数，不可能是某种具有有理系数的方程式的根。这种数就是“超越数”。

4世纪法国的数学家维也特证明：(www.xing528.com)

如果列入这个算式中的π值是有限数（那样就能用几何学方法根据这个算式作出图），这个算式就能解出方圆问题。但这个算式中的求平方根的次数是无穷的，所以维也特的方法没有任何实际意义。

方圆问题之所以不可解，就是因为π值的超越性。也就是说它的值在有理系数的某种方程式中是无法求出结果的。1889年，德国数学家林德曼就证明了π值的这一特点，并证实了用几何学作图方法是无法解出方圆问题的。虽然这个答案是否定的，但他仍然算得上是唯一一位解决了方圆问题的人。从此数学家们结束了几百年对方圆问题的探寻，但仍然有很多学艺不精的业余爱好者还在试图解开这一难题。

其实对于方圆问题，在实际生活中根本不需要把它解出来。很多人认为解出方圆问题能给实际生活带来很大的益处，这个想法是不对的。在日常生活中，只要会使用适当的近似求解方法就足够了。

其实把π值计算到七八位以后，它对于方圆问题的解答就已经开始没有什么实际意义了。在实际生活中只要知道π＝3.141 592 6就可以了。它对任何长度的测量都已经是足够的了。所以在计算时没必要取八位以上的π值：因为计算的精度也并不会因此有所提高^[4]。如果你要计算的半径是七位数的，那么就算把π值取到八位以上，圆周长的有效位数也不会有比七位再多的数字了。长久以来，为了求出更精确的π值，古代数学家们付出了巨大的劳动，其实这是毫无意义的。而且，这种劳动在科学上也起不到什么大的作用。只要有足够的耐心就可以做到，如果你有这个兴趣，可以利用莱布尼茨^[5]求出的无穷级数，找到π值的1 000位数字：

但任何人都不需要这个算式，因为它对解出这道著名的几何难题一点实际意义也没有。

法国天文学家阿拉戈这样写道：

那些想要解答方圆问题的人，坚持不懈地研究着这个问题。目前人们早已知道这道题是不可解的，但仍然要不断地演算它，即使有了结果，也是毫无实际意义的结果。这些人已经失去了理智，他们只想破解方圆问题，根本不理会事物本身的意义，这是一种病态的追求。

最后这位法国天文学家这样讽刺道：

国家的科学院一直在反对人们这种对方圆问题的盲目求解，在这过程中发现了一个问题，就是这种病症通常在冬末春初时最为严重。