多变量自回归模型建模方法

（一）模型的数学表达式

矩阵A（p）表示各个变量序列之间滞时为p 的互相关和自相关，滞时为零的互相关则由矩阵B 来反映。

（二）序列平稳化

若观测序列具有增长、下降或其他的变化趋势，或具有周期变化，都属于非平稳序列。而ARV（n）模型主要是针对平稳序列来研究。因此，必须将序列平稳化处理。平稳化序列的方法较多。对于趋势项，可以用计算机拟合相应的函数。事先不假定趋势项是什么函数形式，而给出一个一般多项式的函数形式：然后用逐步回归方法在计算机上加以筛选来确定趋势项的数学表达式。也可以进行差分处理，对于具有线性趋势的序列进行一次差分即可，若属于二次多项式，则需要进行二次差分，等等。对于具有周期变化的序列，可以通过傅立叶谐波分析，提取周期项，或者进行季节差分处理，使之平稳化。傅立叶谐波分析详见参考文献[4]。

对于要研究的多变量序列，可以分别进行上述处理，将趋势项和周期项处理或提取后，变为平稳序列，进行多维自回归分析。

（三）ARV（n）模型定阶

多维自回归模型与单变量自回归模型定阶规则相仿，通过相关矩阵，求解自相关系数矩阵Rk，然后根据多维自回归模型定阶的最小FPE 准则（最小最终预报误差准则）确定模型阶数。

FPE 准则是以模型的一步预报误差方差阵的行列式达最小来确定其自回归阶数的。对于长度为N 的k 维动态数据X1，X2，…，XN，它的一步预报误差方差阵的估计量：

归纳起来，对于k 维，长度为N 的样本，其k 维零均值平稳序列｛Xt｝，可按如下步骤进行自回归模型的辨识和估计。

如果FPEp（Xt）的值从p＝1 就开始一直上升，则可判断模型为一阶自回归模型；如果FPEp（Xt）的值随p 增加而一直下降，则可能是由于样本序列不能用AR模型来描述；如果在某一p 值，FPEp（Xt）下降很快，以后又缓慢地下降，则可把这个p 值作为AR 模型的阶；如果随着p 的增加，FPEp（Xt）的值上下剧烈跳动着，看不出具有最小值，这可能是由于样本长度N 太小引起的，可增大样本长度再进行定阶。

（四）多维AR模型参数的估计(www.xing528.com)

互相关系数可用下式确定：

自回归系数矩阵可以采用递推算法：

式中：Ik为k 阶单位阵。

（五）自回归模型的建立

由于只关心一个变量，系统属于多输入单输出的情形，因此完全可以利用前式模型的第一行来描述，将本来比较复杂的多维序列辨识问题转化为简单的一维情形去处理。例如，只对作物需水量预报感兴趣，而参照相应气温、风速、饱和差、日照等资料，便可以以水稻需水量为输出，气温、风速、饱和差等为输入，建立预测模型，进行需水量预报：

（六）ARV（n）模型的预报

求解出模型参数，建立了自回归模型，就可以根据模型进行预报。即根据现在和以往的所有观测资料，对未来时刻的取值作出估计。将上式简化写成：

一步预测模型为：

当进行多步预测时，需要使用序列｛X t ｝内其他变量的预测值，即还需要使用ARV模型，可以根据实际情况选择。