环境水力学-瞬时点源一维扩散方程的推导

在这个附录中，我们讨论关于点源在无限空间中扩散，在考虑边界及初始条件时的一维扩散方程的解。控制方程为

边界条件为C（±∞，t）＝0，初始条件为C（x，0）＝（M／A）δ（x）（更多细节参考第二章）。在这里，我们将用傅立叶指数变换代替相似理论得出我们的结果，傅立叶指数变换定义为

这里F（α，t）是傅立叶变换后的F（x，t），α是转换变量，同时i是虚数。这种方法满足在±∞的边界条件。由于应用了傅立叶变换，不需要用边界条件来求出积分常数，解显然服从边界条件。傅立叶变换中给出的扩散控制方程为

傅立叶变换的优点是它可以将偏微分方程转变称为常微分方程，这里可以求得一个简单的，一阶常微分方程。

结合初始条件，F（α）经过傅立叶变换后为

综上所述，傅立叶变换方法能够满足边界条件的要求，因此，我们不需要考虑有关边界条件的约束，同时，利用傅立叶变换将初始条件来应用于方程可将其转化为简单的一阶常微分方程。如此，我们的解为

满足我们所有的边界及初始条件。剩下的工作就是傅立叶的逆变换。

傅立叶的逆变换通常定义为

对于我们的问题，逆变换变为

我们可以通过eiαx＝cos（αx）＋isin（αx）进行简化。由于exp（－Dα2t）是偶函数，isin（αx）是奇函数，因此，我们可以将isin（αx）项忽略，这样经过简化可得到

第一步，将指数进行代换，

接着，定义一个新的变量

式（B－9）为(www.xing528.com)

因此，我们需要解决

通过下面的技巧来解决（B－14）并不是很繁琐。总的来说，我们需要知道I和η的关系。

因为

则方程为

类似的，我们运用变换

可以得到积分式

我们将式u＝sin（ηx）与式dv＝d（）整合入方程（B－17）得

从新整理最后的结果可得：

上式类似于式（2－33）中令C0＝0。将I用f表示，得到：

初始条件：

因此，通过严格的运用傅立叶变换方法，我们可以得到上述两个方程，应用合适的边界条件和初始条件，为瞬时点源在无限域的扩散扩散方程提供了解法。