环境水力学-紊动扩散的泰勒理论

泰勒研究单个质点的紊动扩散，奠定了紊动扩散的理论基础。拉格朗日法为了和欧拉法中的流速相区别，以V表示拉格朗日法中的流体质点运动速度，为简化起见，只讨论在时间和空间都均匀的紊流场中沿x方向的一维扩散。

设有一质点在t＝0时刻的位置是X（0），经过时间t之后移到新的位置X（t），则

若把坐标原点放在X（0）的位置，即X（0）＝0，经过时间t之后移动到新的位置X（t），故上式可以简化为

令开始扩散的时间为t0，经过时间t，质点移动距离为X（t0＋t），有

由于紊流是均匀的，无论何时开始扩散，也无论以何处开始扩散，作为一个统计特征值，位移的方差只是时间t的函数，并可以用时间平均代替统计平均。

因，式中左边dt′dt″是矩形微元从0到t的正方形面积上的积分，而正方形面积的积分等于右边对两个对角三角形面积分的两倍（见图3－4），考虑到被积函数对t′，t″是对称的，即

图3－4

式（3－10）中，的含义是：同一流体质点取时间差为τ（τ＝t″－t′）的两个时刻的流速乘积对时间的平均值，如果像分子运动那样每步运动都是独立的随机运动，彼此毫无历史联系，则这个平均值应为零，但紊动情况不同，一个质点在两个瞬间的流速是相关的，只要相隔时间τ不太大，这个平均值就不等于零。用拉格朗日自相关系数Rτ来表示这个相关，由于自相关系数为

不失一般性，取速度的平均值为零（或将坐标系取为以平均速度移动的运动坐标系），得到

代入式（3－10），得到

对上式进行分部积分得到

式（3－11）成为

对于扩散时间很短或很长的两种极端情况，式（3－13）可以求解如下：

1．当扩散时间很短

t≪TL，Rτ≈1，由式（3－13）得到

或

所以扩散初期质点扩散距离的均方差与扩散时间成正比，而由，分子扩散的均方差σ与成正比，因此扩散时间很短的扩散属于非费克型扩散。

2．扩散时间很长(www.xing528.com)

设到某时刻t＊时可认为已无相关，即t＝t＊时，Rτ≈0。则当t≫t＊时，

当t很大时，右边第二项比第一项小很多，可忽略。令，称为拉格朗日积分时间比尺，表示一个质点在运动过程中经历的时间。式（3－13）成为

或

表明当扩散时间很长时，质点的扩散距离的均方差与成正比，这样的紊动扩散属于费克型扩散。

判断扩散时间长短的依据就是拉格朗日时间尺度TL，它是摆脱质点历史影响所经历的时间的度量。因此可以说，当t≪TL时，式（3－14）成立；当t≫TL时，（3－15）式成立。

将紊动扩散与分子扩散比较，分子扩散是完全随机的，没有什么历史影响，分子达到某处的概率服从正态分布，其方差σ2与扩散时间t成正比。在恒定均匀紊流扩散中，在紊动扩散后期，当t≫TL时，扩散的方差也与时间t成正比。因此可以引入一个类似分子扩散的紊动扩散系数E，即

令

则

ΛL为拉格朗日空间积分比尺（也称拉格朗日扩散长度比尺，是流速尺度与拉格朗日时间尺度的乘积，同样是反映旋涡尺度的量度）。式（3－17）表明，当扩散时间较长时，E与ΛL成比例，因而可以认为紊动扩散系数主要取决于大尺度的涡旋运动。

是否当t≫TL时紊动扩散到达某处的概率服从正态分布呢？根据实验资料，恒定均匀紊流的流速场在t≫TL时是接近正态分布的，因此可以认为X（t）也是按正态分布的。所以对于紊动扩散可按分子扩散的规律处理。

上式即为紊流扩散方程。分子扩散系数D是由物质性质决定的，而紊动扩散系数E是和流场特性密切相关。

例3－1　设一均匀紊流内，在原点投入许多示踪质粒子，测量不同时刻粒子的横向位移X，X2的统计平均值及通过原点后的时间t的数值如下表所列，试绘出X2～t的关系曲线，据以推求紊动扩散系数E。同时计算及扩散长度比尺ΛL。

解：按表格数据绘出曲线如图所示，

左图为与时间t的关系图，右图为与t的关系图。可以看出，当t≤0．2s时，与t满足式（3－14），为线性关系。当t≥0．7s时，与t满足式（3－15），为线性关系。

由式（3－14）（b），可以得到

例3－1　附图

由式（3－16），可以得到

由式（3－17），可以得到扩散长度比尺