回归系数的区间估计方法与应用

由式（2-42）和式（2-43）已知：

分别将和标准化可得

（一）σ2已知条件下的区间估计

如果σ2已知，在给定的置信水平下1-α下，可以利用式（2-44）和式（2-45）对β1和β2进行区间估计，依据区间估计的基本原理，此种情况下β1和β2置信水平为1-α的置信区间分别为

（二）σ2未知、大样本条件下的区间估计

但实际经济问题处理中σ2往往是未知的，在大样本情况下，用σ2的无偏估计量估计σ2后z1和z2近似服从标准正态分布。

此时，依据区间估计的基本原理，β1和β2置信水平为1-α的置信区间分别为

（三）σ2未知、小样本条件下的区间估计(www.xing528.com)

在小样本情况下，式（2-46）和式（2-47）并不成立，可以证明在古典假设成立的条件下

该结论本章暂不证明，下一章将给出具体的证明过程。依据第三节中“最小二乘估计方法下样本回归函数的性质3”可知和分别与残差平方和Qe相互独立，这就意味着z1和z2也分别与相互独立。由概率论知识可知：

同理可证：

那么，β1和β2置信水平为1-α的置信区间分别为

例2-4 仍以例1中的数据为例，对模型Y=β1+β2 X+u进行参数估计，其中X是2015年中国31个省市自治区居民人均可支配收入，是人均消费支出，利用Eviews软件估计的结果如表2-5所示。

表2-5　中国居民人均可支配收入对人均消费支出影响的线性回归分析结果

其中，Coefficient是对应参数的点估计值，Std.Error是对应参数估计量标准差的估计值，亦即的观测值。假设显著性水平为0.95，查t分布的临界值表可知t0.025（29）=2.045，由此可得β1置信水平为0.95的置信区间的一次实现为：（932.3443-2.045×442.5654，932.3443+2.045×442.5654），即（27.29806，1837.391），同理可得β2置信水平为0.95的置信区间的一次实现为：（0.642764，0.71937）。