基于SR电动机线性模型的相电流解析分析

2.3.1节所作的相绕组电感仅是转子位置函数的线性化假设，使相电流有近似解析解，这有助于定性讨论某一相绕组通电时所发生的物理过程。

图2-7 基于线性模型的相绕组磁链曲线

将Ψ（θ）=L（θ）i（θ）代入式（2-14），得

整理式（2-21），得

在绕组通电期间，式（2-21）中的电源电压U_s前应取“+”号，等式两边同乘相电流i，可得功率平衡方程为

式（2-23）表明，当SR电动机相绕组通电时，若不计绕组损耗，输入的电功率一部分用于增加绕组的磁场储能（Li²/2），另一部分则转换为机械功率输出（i²ω_rdL/dθ），而后者为相电流与定子电路的旋转电动势（iω_rdL/dθ）之积。抓住旋转电动势的大小、正负与电感相对转子位置的变化率有关这一特点，可分析在电感变化不同区域内绕组电流流动所引起的几种不同的能量流动情况。

若在电感上升区域θ₂～θ₃内绕组通电，旋转电动势为正，产生电动转矩，电源提供的电能一部分转换为机械能输出，另一部分则以磁能的形式储存在绕组中；若通电绕组在θ₂～θ₃内断电，储存的磁能一部分转换为机械能，另一部分则回馈给电源，这时转轴上获得的仍是电动转矩。在相电感保持为最大电感的θ₃～θ₄区，旋转电动势为零，如有相电流继续流动，绕组储能则仅回馈给电源，转轴上并无电磁转矩；最后，若相电流在电感下降区θ₄～θ₅内流动，因旋转电动势为负，产生制动转矩，这时回馈给电源的能量既有绕组释放的磁能，也有制动转矩产生的机械能，即SR电动机运行在发电状态。

显然，为了得到较大的动力转矩，一方面应尽量减少（或避免）制动转矩，即在相电感开始随转子位置减小时，应尽快使相电流衰减到零，为此，关断角θ_off通常设计在最大电感达到之前。主开关器件关断后，反极性的电压加至绕组两端，迫使续流电流流向电源，相电流迅速下降，以保证在电感下降区域内流动的电流很小（或为零）；另一方面，应尽量提高电动转矩，即在相电感随转子位置上升区域应尽量流过较大的电流。

有人误以为将θ_on设计在θ₂处，θ_off设计在θ₃处，即绕组在整个电感上升区域内通电励磁，将会获得最大的电磁转矩，这是不正确的。事实上，SR电动机电动运行的重要条件是绕组在某一超前于电感上升区域（如图2-7的角度θ_on处）接通主电源，这样定子电路起始的电感为L_min，从而允许相电流迅速建立起来，当转子转至θ₂处时，电流增长到最大值，随后因电感的上升及旋转电动势的出现，电流一般不再上升。

基于上述定性分析，SR电动机电磁转矩的调节可以通过控制开通角θ_on和关断角θ_off实现（称为角度位置控制方式）。鉴于θ_on、θ_off是影响SRD运行特性的重要控制参数，下面给出严格的定义。如图2-5所示，取转子凹槽与定子凸极中心线重合处为参考零角度，对应定子绕组触发时刻，与其相邻最近的转子凹槽逆着旋转方向转到参考位置处所转过的机械角度定义为该绕组的开通角，并记以θ_on。按此定义，θ_on系代数量，若θ_on＜0，则表示转子凹槽顺着旋转方向转到参考零位所转过的角度；同理，对应定子绕组关断时刻，转子所处的位置与参考零位所夹的机械角度定义为绕组关断角，并记以θ_off。

SR电动机运行中，随着θ_on、θ_off出现在不同的相电感分布区域，即运行工况不同，相电流波形将有很大的变化。下面主要求解在角度位置控制方式下电动运行时，相电流的分段解析式。

正如前面所分析，SR电动机电动运行时，应在θ₁～θ₂内触发导通主开关器件，即有θ₁＜θ_on＜θ₂；应在θ₂～θ₃内关断主开关器件，即有θ₂＜θ_off＜θ₃，这时一个电感变化周期内的相电流波形如图2-8所示。由于相电感L（θ）的数学模型式（2-9）是分段线性解析式，故需分段给出初始条件求解相电流的微分方程式（2-22）。1.θ₁≤θ＜θ2

图2-8 角度位置控制方式典型相电流波形（基于线性模型）

在此区域，L=Lmin，式（2-22）中的Us前取“+”号，将初值条件i（θon）=0代入，解得

则电流变化率为

式（2-25）表明，相电流在最小电感恒值区域是直线上升的。从物理概念上看，因为该区域电感恒为L_min，且无旋转电动势，因此相电流可在该区域迅速建立。

由式（2-24）可见，若减小θ_on，则电流幅值相应增加，因此通过合理选择绕组开通角θ_on，即可使相电流在进入有效工作区域（dL/dθ＞0）前，即达到一定的数值，以保证在电感上升段产生足够大的电动转矩。

2.θ₂≤θ＜θ_off

在此区域内，L=L_min+K（θ-θ₂），U_s前取“+”号，代入式（2-22）得

两边对θ积分，得

将初值条件i（θ₂）=U_s（θ₂-θ_on）/（ω_rL_min）代入式（2-26），定出积分常数C=U_sθ_on/ω_r，则

对应的电流变化率为

由式（2-28）可见，若θ_on＜θ₂-L_min/K，则di/dθ＜0，电流将在电感上升区域内下降，这是因为θ_on较小，电流在θ₂处将有相当大的数值，使进入电感上升区域所引发的旋转电动势超过了电源电压U_s；若θ_on=θ₂-L_min/K，则di/dθ=0，这时旋转电动势恰好与电源电压平衡；若θ_on＞θ₂-L_min/K，则di/dθ＞0，电流在电感上升区域内将继续上升，这是因为θ_on较大，电流在θ₂处数值较小，使进入电感上升区域所引发的旋转电动势小于电源电压U_s。由此可见，不同的开通角θ_on可形成不同形状的相电流波形。电压U_s、角速度ω_r恒定时，对应三种不同θ_on的电流波形如图2-9所示。

显然，θ_on=θ₂-L_min/K所对应的“平顶波”电流（图2-9中的电流波形2）峰值/有效值比值小，这对于电动机和电力电子开关器件均有益处，与其他两种形状的电流波形相比，较为理想。不过，SRD中，通常要通过调节θ_on实现转速调节，因此“平顶波”电流的形成条件在调速过程中并不能保证。

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图2-9 不同开通角下的相电流波形（基于线性模型）

1—θ_on＜θ₂-L_min/K 2—θ_on=θ₂-L_min/K 3—θ_on＞θ₂-L_min/K

3.θ_off≤θ＜θ₃

在此区域内，L=Lmin+K（θ-θ2），Us前取“-”号，相电流在外施反向电压（-U_s）及旋转电动势作用下以较快速率下降。类似于求解式（2-27）的过程，得该区域内续流电流的解析式为

图2-10 不同关断角下的相电流波形（基于线性模型，θ_off1＜θ_off2＜θ_off3）

因相电流不会反向，令i（θ₃）=0，得θ₃=2θ_off-θ_on，若选择主开关器件的关断角θ_off满足下式要求：

则续流电流将在相电感有效工作段内衰减至零；而若θ_off＞（θ_on+θ₃）/2，则续流电流将会进入最大相电感恒值区，甚至可能进入相电感下降区。因此，为避免产生较大的制动转矩，应适当将θ_off提前，使与续流起始电流相对应的相电感较小，加快续流电流衰减的速度。图2-10所示为与不同关断角对应的相电流波形。图中，θ_off1的取值满足式（2-30）的要求，续流电流仅在相电感上升区流动；θ_off3的取值较大，有一定的残余续流电流在相电感下降区流动，从而形成一定的制动转矩。

4.θ₃≤θ＜θ₄

在此区域内，L=Lmax，式（2-22）中的Us前取“-”号，初值条件为

解式（2-22）得

则电流变化率为

式（2-32）表明，续流电流在最大电感恒值区内线性衰减，从物理本质上看，由于该区域电感变化率为零，无旋转电动势，相电流不产生电磁转矩，只在外施反向电压（-U_s）作用下线性衰减。

5.θ₄≤θ≤2θ_off-θ_on＜θ₅

在此区域内，L=Lmax-K（θ-θ4），Us前取“-”号，初值条件为

类似于求解式（2-27）的过程，得该段电流解析式为

显然，若有续流电流在电感下降区流动，那么当θ=2θ_off-θ_on时，其将衰减至零。

由于在此区域内，相电流会产生制动转矩，那么是不是将θ_off选得充分小，确保进入该区域前续流电流已衰减至零，就一定有利于电动机的出力等性能指标呢？回答是否定的。因为SR电动机电动转矩的提高要求θ_off不可太小，事实上，在电动运行时，电感下降区域中的续流电流一般并不大，由此产生的制动转矩亦有限；但适当选取θ_off，允许电流延续到该区域，却有利于产生电动转矩的有效电流提高，因此存在一个最优选择θ_off的问题。一般的原则是：θ_off＜θ₄，且（θ_off-θ_on）≤τ_r/2。

以上基于SR电动机线性模型，推导了角度位置控制方式下，电动运行状态的相电流在不同相电感区域的解析式。这些分段电流函数亦可用下面的通式统一描述^[11]，即

若外加电源电压U_s、角速度ω_r不变，相电流波形与开通角θ_on、关断角θ_off、最大电感L_max、最小电感L_min、定子极弧β_s等有关，对结构参数一定的SR电动机，则电流波形与θ_on、θ_off的组合密切相关。由式（2-24）可知，减小θ_on，电流峰值随之增加，这是因为随着θ_on的减小，电流线性增长的时间（（θ₂-θ_on）/ω_r）增长。因此，调节θ_on是调整电流波形和峰值的主要手段。

需要指出的是，电流波形起始段的上升率及电流峰值对系统运行性能影响很大，因此应选择得合适。一般电流上升快，电流峰值高，可提高电动机的出力，效率也可以高一些，但这会增大振动、噪声。

当然，调节关断角θ_off，亦可以改变电流波形，但与θ_on相比，其调节作用较弱。

上述采用调节开通角、关断角改变相电流峰值、有效值，以达到转矩调节目的的方法称为角度位置控制方式，一般SR电动机高速运行时的转速调节采用这种方法。

SR电动机低速运行时，旋转电动势小，di/dt的值大，且电感上升期的时间长，为避免过大的相电流脉冲幅值，由式（2-24）可知，可增大θ_on，以抑制低速运行时的过电流。但更值得采取的措施是，使相电流在导通角θ_c内多次换相（θ_c=θ_off-θ_on），即采用电流斩波控制方式，如图2-11所示。

图2-11 电流斩波控制方式下的相电流波形

由图2-11可见，电流斩波控制方式通常采用固定θ_on、θ_off不变，通过给定的容许电流上限幅值i_H和下限幅值i_L来控制相电流保持在期望值。若电流超出i_H，主开关器件即关断，迫使电流下降；若电流衰减到i_L，主开关器件则导通，电流又开始回升，以此实现对Ψ_max、i_H的限定和达到所要求的电磁转矩。从图2-11可见，电流斩波控制方式下的相电流波形近似为“平顶波”。