振动沉拔桩机慢变参数系统的动力学特性

含慢变参数的振动系统也是振动利用工程中一类典型的非线性系统。与一般参变系统相比，其特殊之处在于系统的质量、刚度以及干扰力等参数是随时间缓慢变化的。所谓慢变，是指这些参数与“时间的‘自然’单位（振动周期）”相比变化很慢。换言之，这些参数在系统的单个振动周期的时间内变化很小，要经历多个振动周期的时间之后变化才比较明显。

工程中的许多振动问题都具有参数慢变的特征^[11]。在火箭发射过程中，燃料不断地燃烧和消耗，在火箭升空的时间内，其质量不断减少，因而其固有特性如固有频率与振型会发生变化。大型燃气轮机、发电机和电动机等回转机械上的转子表面产生裂纹时，裂纹会随着时间的延续而逐步扩展、加深而导致转子的破坏甚至断裂。由于裂纹的发展与转子刚度的变化直接相关，所以有裂纹故障的转子在故障发生与发展过程中具有刚度慢变的特征。此外在转子启动和停车过程中，如果转子存在偏心，在启动和振动过程中，就会产生随时间慢变的不平衡激振力，其振幅也是慢变的。有时由于支承原因转子系统的刚度也具有慢变特征。又如在矿山中广泛使用的提升机，在运行过程中钢丝绳长度的变化会使振动系统的质量和刚度缓慢变化；挖掘机的铲斗的振动当考虑悬挂点不同时，可视为一长度慢变的摆；航空发动机中的柔性转子绕惯性中心作变角速度旋转时，振动方程中也会出现含慢变参数的恢复力或激振力。同样，弹性波在地球这种不均匀性介质中的传播，由于介质的不均匀性随着位置缓慢变化，可认为介质参数是位置的慢变函数。从这些实例可以看出，含慢变参数的非线性振动系统有着广泛的工程背景，对该问题进行分析研究无疑是具有实际意义的。

在振动沉拔桩过程中，振动机构与土体相互作用，构成滞回振动系统。系统的运动特性影响沉桩的效果。在系统平稳工作状态时，振幅和相位保持稳定，沉桩过程稳定。引起土体参振参数改变的主要因素有：激励力频率、幅值的改变、土体的均匀性、材料特性、土层的变化等。

由于沉桩过程中土体参数总会产生慢变，振动系统是不稳定的，不稳定运动会导致沉桩效果不稳定，特别是激励参数等改变时，对系统的不平稳性影响更甚。

振动沉拔桩机是一种含有滞回成分的非线性系统，假设该系统是弱非线性的，这样可以用渐进法进行解析分析。本书即研究该系统不平稳运动的一般规律，分析了通过共振区和非共振区内振动波动与参数慢变之间的关系。

（1）参数慢变的非线性振动系统的分析方法 研究慢变系统的目的在于寻找系统的振幅、频率等特征参数随时间变化的规律，弄清它们与慢变参数之间的关系，为工程上利用这些规律以免发生“共振”、减小振动的幅值或者使系统很快通过“共振区”提出一些具体的措施^[11]。慢变系统的共振，与一般非线性系统中的共振不同，它不仅可以在激励频率与系统固有频率相等时发生，而且可以在系统的质量、刚度发生慢变时发生。寻找慢变系统的特征首先要对系统微分方程进行求解。目前求解慢变系统微分方程的有效解法主要是渐近法。

设含慢变参数的单自由度振动系统的二阶非线性微分方程为

式中 t——时间；

ε——正的小参数；

τ——慢变时间，τ=εt；

m（τ）、k（τ）——慢变质量和慢变刚度；

θ——干扰力的相位角（=v（t）是干扰力的瞬时频率）；f（τ，θ，x，）——θ的以2π为周期的函数。

设式（12-69）的解为

x=acos（sφ+ψ）+εu（τ，θ，a，sφ+ψ）+ε²u₂（τ，θ，a，sφ+ψ）+… （12-70）

式中u₁、u₂——角θ，sφ+ψ的以2π为周期的函数；φ=；

s、r——某些不大的互质的整数，由所准备研究的共振的类型决定；

a、ψ——时间的函数，需满足以下方程：

式中；

A₁、A₂、B₁、B₂与θ无关；

差值

可为任意值。(www.xing528.com)

将式（12-70）和式（12-71）代入式（12-69），并把方程右边部分进行泰勒展开，令ε同阶的系数相等可得到关于u₁、u₂的表达式，同时使用解中不出现永年项的补充条件，即可求得

其中

这样方程（12-69）的一次近似解可写为

x=acos（sφ+ψ） （12-74）

其中，a，ψ由下式决定：

对于工程慢变系统，通常情况下一次近似就能获得较好结果。

（2）振动沉拔桩机参数慢变的一般规律 在振动沉拔桩过程中，振动机构和土体相互作用构成滞回系统，该系统存在两种参数慢变形式：一种是由于外激励频率慢变引起的系统的不平稳振动过程；一种是由于振动沉桩过程中，桩周围的部分土壤参与振动，振动质量发生慢变。这里以单自由度系统为例，对上述参数慢变形式进行理论分析，得到振动沉拔桩过程中参数慢变对振动影响的一般规律。

设振动机构的振动质量为m，外激励为简谐力：E₀（τ）sin2πv（τ）t。沉桩阻力记为f₀（t）。设τ为慢变时间。系统的运动方程为

其中

式中

则原方程可以写成：

令θ=2πvt

设方程的一次近似解为

x₁₀=acosφ （12-83）

其中，φ=θ+ψ，ψ为相位差，a，ψ是时间的函数，它们对时间的导数用小参数级数近似：

固有频率为ω（τ），由渐近法可以得到：

其中

可以求得参数慢变的等效阻尼系数和等效刚度为

设δ_e（a）=，ω_e（a）=，振幅和相位差在附近共振区域内的近似微分方程为

前面主要分析了液压激振式振动沉拔桩机的组成和原理。设计了液压激振式振动沉拔桩机沉桩液压系统回路，分析了液压激振器的结构及工作原理；设计了振动沉拔桩机隔振系统；根据土的滞回特性，建立了非线性条件下振动沉桩系统力学模型及方程，并利用渐进法，对非线性方程进行了求解。对于振动沉拔桩机滞回系统，当系统参数产生慢变时，将会对振动系统的运动产生影响，利用非线性振动解析方法渐进法对振动沉拔桩机系统进行分析，给出解析解，为设计提供有价值的参考。