轮廓插补原理详解

时间：2023-06-28 理论教育版权反馈

【摘要】：轮廓插补是在已知线段类型和起、止点坐标的情况下，补足中间点的过程。图3-29 逐点比较法插补流程逐点比较法直线插补1）插补原理如图3-30所示，第Ⅰ象限直线，起点O为坐标原点，终点为E，动点为N。成立与否；若成立，则停止插补，否则继续。图3-32 逐点比较法插补Ⅰ象限直线

轮廓插补原理详解

轮廓插补是在已知线段类型和起、止点坐标的情况下，补足中间点的过程。插补模块是整个数控系统中一个极其重要的功能模块，其算法的优劣将直接影响到系统的精度、速度及加工能力范围等。插补的类型有直线插补和圆弧插补等。

常用的插补算法有脉冲增量法和数据采样法，其中脉冲增量法可分为逐点比较法和数字积分法。在实现方法上，既可以硬件实现，也可以软件实现。

1.逐点比较法插补

逐点比较法的基本原理是：逐点比较刀具与编程轮廓之间的相对位置，决定下一步的进给方向。使刀具向减小偏差的方向进给，而且每次只有一个方向进给，周而复始，直至全部结束，从而获得一个非常接近于编程轮廓的轨迹。

逐点比较法插补过程中，每进给一步都要经过4个节拍的处理，如图3-29所示。

第1拍：偏差判别。判别刀具当前位置相对于编程轮廓的偏离情况，以决定进给方向。

第2拍：进给。根据偏差判别结果，控制相应坐标轴进给一步，使刀具向编程轮廓靠拢，以减小偏差。

第3拍：偏差计算。刀具进给一步后，计算新的偏差，作为下一次偏差判别的依据。

第4拍：终点判别。判别刀具是否到达终点，若已到达终点，则停止插补；否则，继续循环以上4个节拍，直至到达终点。

图3-29 逐点比较法插补流程

（1）逐点比较法直线插补

1）插补原理如图3-30所示，第Ⅰ象限直线，起点O为坐标原点，终点为E（x_e，y_e），动点为N（x_i，y_i）。

①偏差判别函数。

设经过l次插补后，当前刀具在N（x_i，y_i）点。

若N_i正好在直线上，则，即x_eyi^-xiye=0；

若N_i正好在直线下方，则，即x_eyi-xiye<0；

若N_i正好在直线上方，则，即x_eyi^-xiye>0。

由此可以看出，（x_ey_i-x_iy_e）的符号反映了动点N_i和直线OE之间的相对位置，若令F_i=x_ey_i-x_iy_e，则F_i叫第i次插补后的偏差函数。

图3-30 动点与直线之间的关系

②进给方向。

进给方向内偏差判别的结果决定，即

当F_i>0时，向Y轴正向进给一步（+Δx）；

当F_i<0时，向Y轴正向进给—步（+Δy）。

③偏差计算。

开始时，刀具位于直线的起点O，因此F_O=0。

设经过i次插补后，当前刀具在N（x_i，y_i）点，偏差函数F_i=x_ey_i-x_iy_e。

若F_i>0，则进给+Δx，到达N_i+1（x_i+1，y_i）点，从而

若F_i<0，则进给+Δy，到达N_i+1（x_i，y_i+1）点，从而

可见，偏差函数的F_i计算仅与终点坐标x_e、y_e有关，而与动点坐标无关，而且不做乘法，从而提高了插补运算的速度。

④终点判别。

每进给一步，都要进行一次终点判别。常用的终点判别方法有以下三种。

总步长法：首先求出直线段在两个坐标轴方向上应走的总步数，即∑=|x_e|+|y_e|；然后每进给一步，就从总步数中减去1，直到总步数∑=0为止，表示已到达终点。

投影法：首先求出直线段终点坐标值中较大的一个，即∑=max（|x_e|，|y_e|），以此作为终点计数值；然后每当终点坐标绝对值较大的坐标轴进给一步，就从∑中减去1，直到∑=0为止，表示已到达终点。

终点坐标法：每进给一步，将动点坐标与终点坐标进行比较，判别两者是否相等，即判别x_e-x_i=0？和y_e-y_i=0？成立与否；若成立，则停止插补，否则继续。

在上述推导和叙述过程中，均假设所有坐标值的单位是脉冲当量数。每次发出一个单位脉冲，也就是进给一个脉冲当量的距离。

2）插补举例如要加工第Ⅰ象限直线OE，终点为E（3，5），使用逐点比较法进行插补时，总步数∑₀=|x_e|+|y_e|=3+5=8；开始时刀具处于直线起点，即在直线上，所以F₀=0。插补运算过程列于表3-5中，插补轨迹如图3-31所示。

需要注意的是，对于逐点比较法插补，在起点和终点处刀具均落在编程轮廓上，也就是说在插补开始和结束时，偏差函数均为零，即F=0；否则，说明插补过程中出现了错误。

图3-31 直线插补轨迹

表3-5 直线插补运算过程

3）插补的实现逐点比较法插补在实现方法上，既可以采用硬件逻辑，也可以利用软件模拟。以第Ⅰ象限直线插补为例，说明如下。

①硬件实现。

用硬件逻辑电路来实现插补，速度快、可靠性高、可减轻CPU的负担。特别是采用可编程序逻辑门阵列FPGA（Field Programming Gate Array）来构成插补器，能够克服一般硬件插补逻辑电路灵活性差的缺点，同时保留了硬件电路处理速度快的优点，在实际中得到了广泛的应用。

用硬件逻辑实现逐点比较法直线插补的逻辑框图如图3-32所示。它有4个寄存器：偏差函数寄存器J_F，存放每次偏差运算的结果，即F_i；坐标寄存器J_X和J_Y，分别存放终点坐标值x_e和y_e；总步数寄存器JΣ，存放插补过程中所需走的总步数。其中，J_X、J_Y和J_F为移位寄存器，JΣ是减法寄存器。

此外，∑为全加器，D_C是进位触发器，MF是脉冲源，M为节拍脉冲发生器，T_F为偏差符号触发器，TΣ为终点判别触发器，T_G为运算开关触发器，其余为一些逻辑门电路。电路存脉冲源MF在脉冲作用下稳定地工作，通过改变脉冲源的脉冲频率，可以改变进给速度。

插补开始时，首先根据零件程序提供的有关信息，对各寄存器进行初始化，内容包括：|x_e|→J_X，|y_e|→J_Y，|x_e|-|y_e|→JΣ，清零J_F、D_C、TΣ，置位T_G，设置MF频率，为插补运算做好准备工作。

初始化完成后，运算控制信号使T_G触发器置1（即Q=1），打开了与门Y₀，从而使MF发出的脉冲经与门Y₀到达时序脉冲发生器M，经M产生四个先后顺序的脉冲系列t₁、t₂、t₃和t₄，并按此顺序去依次完成一次插补运算过程中的四个工作节拍，即偏差判别、进给、偏差计算和终点判别。具体工作过程如下：

第一拍t₁：当t₁脉冲到达时，将与非门YF₁和YF₂打开，从而将J_F寄存器的符号位输入到偏差符号触发器T_F中，判别出F_i的符号，作为进给和偏差计算的依据。具体工作原理是：当F≥0时，YF₁=0，YF₂=1，Q（T_F）=0，，Y₁打开，Y₂封闭，为+X轴进给做好准备；当F<0时，YF₁=1，YF₂=0，Q（T_F）=1，，Y1封闭，Y₂打开，为+Y轴进给做好准备。

图3-32 逐点比较法插补Ⅰ象限直线的硬件逻辑框图

第二拍t₂：当t₂脉冲到来时，根据t₁时刻J_F的判别结果，发出相应坐标轴进给脉冲，并对总步数寄存器JΣ进行减1运算。工作过程为：当F≥0时，Y₁输出1，Y₂输出0，+X轴进一步；当F<0时，Y₁输出0，Y₂输出1，+Y轴进一步。

第三拍t₃：是一个位移脉冲序列，进行偏差计算，其脉冲数目取决于参与运算的寄存器位数。当F≥0时，T_F的，将与门Y₄打开，使t₃脉冲序列送往JY和J_F寄存器，同时T_F的也打开了与门Y₅；在移位脉冲t₃的作用下，J_Y和J_F中的内容逐位进入全加器∑中进行相加，其相加结果再送回到偏差寄存器J_F中，同时从J_Y中移出的-y_e的补码值经自循环线仍回到J_Y中，完成F-y_e→F的运算。同理，若F<0，T_F的Q=1，将与门Y₃打开，使t₃脉冲序列送往J_X和J_F寄存器，同时T_F的Q=1也打开了与门Y₆；在移位脉冲t₃的作用下，J_X和J_F中的内容逐位进入全加器∑中进行相加，其相加结果再送回到偏差寄存器J_F中，同时从J_X中移出的x_e经自循环线仍回到J_X中，完成F+x_e→F的运算。

第四拍t₄：当t₄脉冲到来时，打开与门YF₃。如果已经到达终点，在t₂节拍JΣ已经被减为0，并使终点判别触发器T_G置1，则YF₄输出0脉冲，使运算开关触发器T_G清“0”，关闭时序脉冲，终止插补运算；如果还没有到达终点，在t₂节拍JΣ减1后不为0，则终点判别触发器T_G保持“0”状态，YF₄输出高电平，运算开关触发器T_G保持不变，待下一个MF脉冲到来，进行新的一次插补。如此循环，直至终点。

②软件实现。

用软件实现逐点比较法直线插补，实际上就是利用软件来模拟硬件插补的整个过程。软件插补具有较好的灵活性，但插补速度较慢。根据前面介绍的基本原理，可设计出逐点比较法在第Ⅰ象限直线插补的软件流程，如图3-33所示。现假设系统为8位字长，脉冲当量δ=1mm，系统启动后，工作台从起点（0，0）以某一速度移动到（30，40）处，使用MCS-51系列单片来实现，编写汇编语言程序如下。

图3-33 逐点比较法直线插补流程

ORG 0000H MAIN：MOV TMOD，#01H ；定时器0设定为定时方式1

MOV 30H，#30 ；X轴终点坐标x_e=30mm

MOV 31H，#40 ；Y轴终点坐标y_e=40mm

MOV 40H，#0 ；偏差函数清0，F=0

MOV P1，#0 ；关闭步进电动机输出

MOV A，30H ；根据x_e、y_e

ADD A，40H ；|x_e|+|y_e|

MOV 50H，A ；计算总步数∑

MOV A，31H ；y_e

CPL A ；取反

ADD A，#1 ；加1

MOV 31H，A ；求[-y_e]_补 LOOP：MOV TH0，#0FDH ；置定时系数

MOV TL0，#12H ；确定插补速度

SETB TR0 ；启动定时器

MOV A，40H ；取出偏差函数F

JB ACC.7，STEP_Y ；F<0，转Y轴进给处理程序

ACALL PX ；F≥0，调X轴环分子程序，进给+Δx

MOV A，40H ；取出偏差函数F

ADD A，31H ；F+[-y_e]_补

MOV 40H，A ；→F

JNB TF0，$ ；等待延时

CLR TF0 ；清定时标志

DJNZ 50H，LOOP ；∑-1≠0，继续

AJMP PEND ；∑-1=0，停止插补

STEP_Y：A_MCA_OVLL _AP，Y₄₀H ；；调取出Y_偏轴差环函分数子程F序，进给+Δy

ADD A，30H ；F+x_e

MOV 40H，A ；→F

JNB TF0，$ ；等待延时

CLR TF0 ；清定时标志

DJNZ 50H，LOOP ；∑-1≠0，继续

PEND：AJMP$ ；∑-1=0，停止插补

PX：… ；X轴环形脉冲

… ；分配子程序

RET ；子程序返回

PY：… ；Y轴环形脉冲

… ；分配子程序

RET ；子程序返回

END ；汇编结束

图3-34 第Ⅰ象限逆圆弧与动点间的关系

（2）逐点比较法圆弧插补

1）插补原理在圆弧加工过程中，要描述刀具与编程之间的相对位置，可用动点到圆心的距离大小来反映。如图3-34所示，假设编程轮廓为第Ⅰ象限逆圆弧SE，圆心为O（0，0），半径为R，刀具动点坐标为N_i（x_i，y_i）。

①偏差判别函数。

设经过i次插补后，当前刀具在N_i（x_i，yi）点，则通过比较N_i点到圆心的距离与圆弧半径的大小，就可反映出动点与圆弧之间的相对位置关系。取F_i=x_i²+y_i^2-R2为圆弧插补时的偏差函数，则有：

当N_i正好落在圆弧SE上时，则

即

当N_i正好落在圆弧SE外侧时，则

即

当N_i正好落在圆弧SE内侧时，则

即

②进给方向。

进给方向由偏差判别的结果决定，即

当F≥0时，向-X轴方向进给一步（-Δx）；

当F<0时，向+Y轴方向进给一步（+Δy）。

③偏差计算。

开始时，刀具位于直线的起点O，因此F_O=0。

设经过i次插补后，当前刀具停在N_i（x_i，y_i）点，对应偏差函数为F_i=x_i²+y_i²-R²。

若F≥0，则进给-Δx，到达N_i+1（x_i-1，y_i）点，新的偏差函数为

若F<0，则进给+Δy，到达N_i+1（x_i，y_i+1）点，新的偏差函数为

可见，逐点比较法圆弧插补的偏差函数递推计算公式中，除了加减运算外，还有乘运算，并且与动点坐标N_i（x_i，y_i）有关。

④终点判别。

和直线插补一样，插补过程中也要进行终点判别。对于仅在一个象限内的圆弧，仍然可以采用直线插补终点判别的三种方法，只是公式稍有不同。

总步长法：∑=|x_e-x_s|+|y_e-y_s|。(www.xing528.com)

投影法：∑=max（|x_e-x_s|，|y_e-y_s|）。

终点坐标法：∑₁=|x_e-x_s|；∑₂=|y_e-y_s|。式中，（x_s，y_s）为圆弧起点坐标，（x_e，y_e）为圆弧终点坐标。

2）插补实例设要加工第Ⅰ象限逆圆弧SE，起点为S（4，3），终点为E（0，5）。逐点比较法进行插补时，总步数∑₀=|x_e-x_s|+|y_e-y_s|=|0-4|+|5-3|=6；开始时刀具处于起点S（4，3）处，所以F₀=0。插补运算过程列于表3-6中，插补轨迹如图3-35所示。

图3-35 第Ⅰ象限逆圆弧插补实例

表3-6 第Ⅰ象限圆弧插补运算过程

2.数字积分法插补

数字积分法也称DDA（Digital Differential Analyzer）法，采用数字积分法进行插补，脉冲分配均匀，不仅可以实现一次、二次甚至高次曲线的插补，而且易于实现多坐标联动。因此，DDA法插补的使用范围较广。

（1）数字积分法基本原理

从几何意义上讲，函数y=f（t）的积分运算，就是求出此函数曲线与横轴所围成的面积，如图3-36所示。

图3-36 数字积分的几何描述

当取Δt=“1”单位时，上式可表示为

称为函数y=f（t）在区间[t₀，t_n]内对t的数字积分。

将其推广到数控系统轮廓插补中，则有

位移=∫速度dt≈∑速度Δt

图3-37 DDA直线插补

（2）DDA直线插补

1）插补原理如图3-37所示，第Ⅰ象限直线，起点O为坐标原点，终点为E（x_e，y_e），刀具进给速度在两个坐标轴上的速度分量为v_x、v_y。由此可求得刀具在X、Y方向上的位移增量分别为

根据几何关系，可以看出

所以经过m次插补后，到达（x_m，y_m），则

取Δt=“1”单位，则

设经过n次插补，到达终点E（x_e，y_e），则

x_e=nKx_ey_e=nKy_e

从而 nK=1或n=1/K

为了保证坐标轴上每次分配的进给脉冲不超过1个脉冲当量单位，则

Δx=Kx_e≤1 Δy=Ky_e≤1

若系统字长为N位，则x_e、y_e的最大数为2^N-1，将其代入上式可得

K（2^N-1）≤1

即

K≤1/（2^N-1）

取K=1/2^N，则

n=1/K=2^N即经过n=2^N次累加，刀具将正好到达终点E。

据此可给出如图3-38所示的DDA直线插补器，图中被积函数寄存器Jv_x和J_Vy分别存放终点坐标x_e和y_e，J_Rx和J_Ry分别为对应的余数寄存器。每当脉冲源发出一个控制脉冲信号Δt，则X积分器和Y积分器各累加一次，当累加结果超出余数寄存器容量（2^N）时，就溢出一个脉冲Δx（或Δy）。这样经过2^N次累加后，每个坐标轴的输出脉冲总数就等于该坐标的被积函数值x_e和y_e，从而控制刀具到达终点E。

2）插补举例设要插补第Ⅰ象限直线，如图3-39所示，起点在原点，终点在E（4，6）。设寄存器位数为3位，用DDA法进行插补时，当寄存器位数N=3，则累加次数n=2^N=8，插补前J∑=J_Rx=J_Ry=0，J_Vx=x_e=4，J_Vy=y_e=6。其插补运算过程如表3-7所示。

图3-38 DDA直线插补器

图3-39 DDA直线插补举例

表3-7 DDA直线插补运算过程

（3）DDA圆弧插补

1）插补原理如图3-40所示，以第Ⅰ象限逆圆NR₁为例，圆心在坐标原点O，起点为S（x_s，y_s），终点为E（x_e，y_e），圆弧半径为R，进给速度为v，在两坐标轴上的速度分量为v_x和v_y，动点为N（x_i，y_i）。则根据图中几何关系，有以下关系式

在时间Δt内，在X、Y轴上的位移增量分别为

式中，由于第Ⅰ象限逆圆对应X轴坐标值逐渐减小，所以Δx表达式中取负号。也就是说，v_x和v_y均取绝对值，不带符号运算。

图3-40 DDA圆弧插补（NR₁）

与DDA直线插补相类似，DDA圆弧插补也可用两个积分器来实现圆弧插补，如图3-41所示。它与直线插补器相比有很大的区别。

①被积函数寄存器J_Vx、J_Vy的内容不同。圆弧插补时J_Vx对应Y轴坐标，J_Vy对应X轴坐标。

②被积函数寄存器中存放的数据形式不相同。直线插补时，J_Vx和J_Vy分别存放对应终点坐标值，对于给定的直线来讲是一个常数；而在圆弧插补时，J_Vx和J_Vy中存放的是动点坐标，属于一个变量，也就是说随着插补过程的进行，要及时修正J_Vx和J_Vy中的数据内容。例如对于图3-38所示NR₁的DDA插补来讲，在插补开始时，J_Vx和J_Vy中分别存放起点坐标值y_s和x_s。在插补过程中，每当Y轴溢出一个脉冲（Δy），J_Vx应“+1”；反之，每当X轴溢出一个脉冲（-Δx），J_Vy应“-1”。至于何时“+1”，何时“-1”，取决于动点N所在象限和圆弧走向，图中的“+”和“-”就表示动点坐标的“+1”修正和“-1”修正关系。

图3-41 第Ⅰ象限DDA圆弧插补器

③DDA圆弧插补终点判别须对X、Y两个坐标轴同时进行，这时可利用两个终点计数器JΣ_x=|x_e-x_s|和JΣ_y=|y_e-y_s|来实现。当X或Y坐标轴每输出一个脉冲，则将相应终点计数器减1，当减到0时，则说明该坐标轴已到达终点，并停止该坐标的累加运算。只有当两个终点计数器均减到0时，才结束整个圆弧插补过程。

2）插补举例设有第Ⅰ象限逆圆弧SE，起点为S（4，0），终点为E（0，4），且寄存器位数N=3。用DDA法进行插补时，被积函数初值分别为：J_Vx=y_s=0，J_Vy=x_s=4。寄存器位数N=3，终点判别寄存器JΣ_x=|x_e-x_s|=4，JΣ_y=|y_e-y_s|=4。其插补过程如表3-8所示，插补轨迹如图3-42中折线所示。

表3-8 DDA圆弧插补运算过程

图3-42 DDA圆弧插补举例（NR₁）

3.数据采样法插补

（1）基本概念

1）数据采样法插补数据采样法插补又叫时间分割法插补，它是以系统的位置采样周期的整数倍为插补时间间隔，根据编程进给速度将零件轮廓曲线分割成一系列微小直线段。然后计算出每次插补与微小直线段ΔL对应的各坐标位置增量Δx、Δy、…，并分别输出到各坐标轴的伺服系统，用以控制各坐标轴的进给，完成整个轮廓段的插补。

显然，数据采样法插补的每次输出结果不再是单个脉冲，而是一个数字量。所以，这类插补算法适用于以直流或交流伺服电动机作为执行元件的闭环或半闭环数控系统中。

2）插补周期T_s与位置控制周期T_c

①插补周期T_s。

插补周期是相邻两个微小段之间的插补时间间隔。插补周期T_s必须大于插补运算时间和完成其他相关CNC任务所需的时间之和，一般在10ms左右。

②位置控制周期T_c。

位置控制周期是每两次位置采样的时间间隔，即数控系统中位置控制环的采样控制周期。它由位置反馈采样时间、执行部件的惯性和速度环的响应时间等决定。一般来讲，位置控制周期T_c大多在4～20ms范围内选择。

③T_s和T_c的关系。

对于给定的某个数控系统而言，T_s和T_c是两个固定不变的时间参数。通常T_s≥T_c，并且为了便于系统内部控制软件的处理，当T_s与T_c不相等时，则一般要求T_s是T_c的整数倍。这是由于插补运算较复杂，处理时间较长；而位置环数字控制算法较简单，处理时间较短，所以，每次插补运算的结果可供位置环多次使用。

例如在AB公司的7360CNC系统中，T_c=T_s=10.24ms。而在SINUMERIK7 CNC系统中，T_s=8ms，T_c=4ms，即插补周期是位置控制周期的2倍。这时插补程序每8ms调用一次，每次计算出每个周期内各坐标轴应进给的增量长度；而对于4ms位置控制周期来讲，每次仅将插补出的增量的一半作为该位置控制周期的位置给定，也就是说，每周期插补输出的坐标增量均分两次送给伺服系统执行。这样，在不改变计算机速度的前提下，提高了位置环的采样频率，使进给速度得到了平滑，提高了系统的动态性能。

3）步长ΔL的计算现假设编程进给速度为F，系统的插补周期为T_s，则可求得每次插补分割的微小直线段ΔL的长度为：ΔL=FT_s。

4）插补精度直线插补时，插补所形成的每段小直线与编程直线重合，不会造成插轮廓误差。

圆弧插补时，一般用弦线来逼近圆弧，这些微小直线段不可能完全与原直线互相重合，从而会造成轮廓误差。通过分析，可推导出其最大径向误差为

式中，F为编程进给速度，T_s为插补周期，R为圆弧半径。

（2）数据采样法直线插补

1）基本原理如图3-43所示。在XOY平面内直线，起点为O（0，0），终点为E（x_e，y_e），动点为N_i-1（x_i-1，y_i-1），编程进给速度为F，插补周期为T_s。根据数据采样法插补的有关定义，每个插补周期的进给步长为ΔL=FT_s。根据几何关系，可求得插补周期内刀具在各坐标轴方向上的位移增量分别为

式中 L——直线段的长度，；

K——系数，。新的动点N_i的坐标为

图3-43 数据采样法直线插补

2）插补流程通过前面分析可以看出，利用数据采样法来插补直线时，算法比较简单，一般可分为以下三个步骤。

①插补准备。完成一些常量的计算工作，求出ΔL=FT_s，和K=ΔL/L等的值，一般对于每个零件轮廓段仅执行一次。

图3-44 数据采样法直线插补流程图

②插补计算。每个插补周期均执行一次，求出该周期对应坐标增量值（Δx_i，Δy_i）以及新的动点坐标值（x_i，y_i）。

③终点判别。通常根据插补余量（余量=）的大小来判别是否

到达终点，判别原则是：若余量²≤步长²，即（x_e-x_i）2+（y_e-y_i）2≤ΔL²，

则即将到达终点，将剩余增量Δx_i=x_e-x_i、

Δy_i=y_e-y_i输出后，插补结束。软件插补流程图如图3-44所示。（3）数据采样法圆弧插补

1）基本原理数据采样法圆弧插补的基本思想是在满足加工精度的前提下，用弦线或割线来代替弧线实现进给，即用直线逼近圆弧。下面以内接弦线（以弦代弧）法为例，介绍其插补算法。

图3-45所示为第Ⅰ象限顺圆弧，圆心在坐标原点O，起点为S（x_s，y_s），终点为E（x_e，y_e），圆弧半径为R，进给速度为F，A（x_i-1，y_i-1）、B（x_i，y_i）是圆弧上两个相邻的插补点，弦AB是弧AB对应的弦长ΔL，若进给速度为F，插补周期为T_s，则有ΔL=FT_s。当刀具由A点进给到B点时，对应各坐标的增量为Δx_i和Δy_i，M为弦的中点，弦所对应的圆心角（步距角）为θ。