梁的切应力及强度计算

1.梁的切应力

横力弯曲时，梁横截面上既有弯矩又有剪力，所以横截面上除有正应力外，还有切应力。这里仅讨论几种常见截面梁的切应力计算公式。

（1）矩形截面梁。在梁的横截面上，切应力的分布是比较复杂的，因此先对梁横截面上的切应力分布规律作出假设。设横向力作用在矩形截面梁的纵向对称面内[图3.53（a）]，则任一截面的剪力FQ必位于对称轴y上[图3.53（b）]。通常横截面的宽度b总是比高度h小。在这种情况下，对切应力在横截面上的分布规律可作如下两个假设：①横截面上各点处切应力的方向都平行于剪力FQ；②切应力沿截面宽度均匀分布，即距中性轴等远处各点的切应力大小相等。由弹性力学进一步的研究可知，以上两个假设，对于高度大于宽度的矩形截面梁是足够精确的。

图3.53

如以m—m、n—n两横截面假想地从图3.53（a）所示梁中截出长为d x的微段，其左侧截面上有剪力FQ和弯矩M，右侧截面上有剪力FQ（假设该微段上没有横向荷载作用）和弯矩M＋d M，如图3.54（a）所示。梁微段左、右侧的应力情况如图3.54（b）所示。

为了计算n—n截面上任一高度处各点的切应力τ，再用一距中性层为y的水平面沿aa位置将梁微段截开，取aa以下部分为隔离体。隔离体的左、右侧面上有正应力和竖向切应力。在侧面aa＇处竖向切应力为τ，根据切应力互等定理，则隔离体顶面aa上必有剪应力τ＇，且τ＇＝τ，如图3.54（c）所示。设隔离体左、右侧面上法向内力的总和分别为FN1和FN2，顶面上切应力的总和为d F＇Q，如图3.54（d）所示。在右侧截面an上，由微内力σd A组成的内力系的合力是

其中　

式中：为面积A*对横截面中性轴的静矩；A*为横截面上距中性轴为y的横线aa＇以下部分的面积[图3.54（c）]。

同理可以求得左侧面am上内力系的合力为

图3.54

由于微段的长度d x很小，在隔离体顶面上的切应力可认为是均匀分布的，则与顶面相切的内力系合力是

由静力平衡条件∑Fx＝0，得

FN2－FN1－d F＇Q＝0

将式（3.59）、式（3.60）、式（3.61）三式代入上式，得

简化后得出

由于，上式化为

由切应力互等定理可知，τ＝τ＇，故有

式中：FQ为横截面上的剪力；Iz为整个横截面对其中性轴的惯性矩；b为矩形截面宽度；为横截面上距中性轴为y的横线以下部分的面积对中性轴的静矩。

这就是矩形截面梁弯曲切应力的计算公式。它表明，横截面上任一点处的切应力τ与FQ和成正比，与Iz和b成反比。τ的方向与剪力FQ的方向相同。

对于矩形截面（图3.55），可取d A＝b d y1，于是

代入式（3.62），即得

图3.55

从式（3.63）中可以看出，沿截面高度剪应力τ按抛物线规律变化，如图3.55所示。当时，τ＝0，表明截面上、下边缘各点处切应力等于零；随着离中性轴的距离y的减小，τ逐渐增大。当y＝0时，τ为最大值，即最大切应力位于中性轴上，且

将代入上式，即得

式中：A为矩形截面的面积。这说明，矩形截面上的最大切应力是该截面上平均切应力的1.5倍。

（2）工字形截面梁。对于工字形截面，其腹板截面是一个狭长矩形。关于矩形截面上切应力分布的两假设仍然适用。因此，用相同的方法导出相同的切应力计算公式，即

式中：d为腹板厚度；为横截面上距中性轴为y的横线以下部分的面积对中性轴的静矩。由于是y的二次函数，故腹板部分的切应力τ沿腹板高度按抛物线规律变化，其最大切应力也发生在中性轴上，如图3.56所示。显然，这也是整个横截面上的最大切应力，其值为

式中：为中性轴任一侧的半个横截面面积对中性轴的静矩。

在具体计算τmax时，对轧制工字钢截面，式（3.66）中的就是型钢规格表中给出的I x/Sx。

图3.56

计算结果表明，腹板上的最大切应力与最小切应力相差不大，可近似地认为腹板上的切应力是均匀分布的；腹板承担的剪力约等于（0.95～0.97）FQ，可见横截面上的剪力FQ的绝大部分为腹板所承担。因此，可近似地得出腹板内的切应力为

式中：h为腹板高度；d为腹板厚度。

在翼缘上，剪应力的情况比较复杂，既有与剪力FQ平行的切应力分量，也有与翼缘长边平行的切应力分量，但与腹板上的切应力比较，数值很小，所以在一般情况下不予考虑。

（3）薄壁环形截面梁。如图3.57所示薄壁环形截面，环壁厚度为t，环的平均半径为r0。由于t与r0相比很小，故可假设：①横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；②切应力的方向与圆周相切。由于y轴为对称轴，从对称关系可知，y轴两侧各点处的切应力分布与y轴对称，且横截面与y轴相交的各点处的切应力为零。

图3.57

图3.58

对于圆环形截面，其最大切应力τmax仍发生在中性轴上。其值为

式中：A为圆环截面的面积。

可见，薄壁圆环形截面梁，其横截面上的最大切应力为平均切应力的2倍。

（4）圆形截面梁。对于圆截面梁（图4.58），由切应力互等定理可知，在截面边缘上各点处切应力τ的方向必与圆周相切，而在与对称轴y相交的各点处，由于剪力、截面图形和材料均对称于y轴，因此，其切应力必沿y方向。为此，可以假设：①沿宽度kk＇上各点处的切应力均汇交于O＇点；②各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等。根据上述假设，即可应用式（3.42）求出截面上距中性轴为同一高度y处切应力沿y方向的分量，然后按所在点处切应力方向与y轴间的夹角，求出该点处的切应力。

圆截面的最大切应力仍在中性轴上各点处。由于在中性轴两端处切应力的方向均与圆周相切，且与外力所在平面平行，故中性轴上各点处的切应力方向均与外力所在平面平行，且中性轴上各点处切应力相等。于是，仿照推导矩形截面弯曲切应力公式的方法，得圆截面上的最大弯曲切应力为

式中：A为圆截面面积。可见圆截面梁横截面的最大切应力为平均切应力的倍。

【例3.16】 矩形截面简支梁在跨中受集中力F＝40k N的作用，如图3.59（a）所示。已知l＝6m，b＝100mm，h＝200mm。

（1）求m—m截面上距中性轴y＝50mm处切应力，如图3.59（b）所示。

（2）试比较梁中的最大正应力和最大切应力。

（3）若采用32a工字钢，求最大切应力。(www.xing528.com)

图3.59

解：先作出梁的剪力图和弯矩图，如图3.59（c）、（d）所示。可见

FQ，max＝20k N， Mmax＝60k N·m

然后计算出矩形截面的Iz和Wz及阴影部分，即

＝＝（0.1×0.05）×（0.05＋0.025）＝3.75×10－4 m3

（1）求m－m截面y处的切应力。由剪力图可知，m—m截面上的剪力FQ＝20k N。

由式（3.42）得y＝50mm处的切应力为

（2）比较梁中的σmax和τmax。跨中截面上最大正应力为

由式（3.44）可得矩形截面梁中最大切应力为

两者之比为

σmax∶τmax＝90MPa∶1.5MPa＝60∶1

由此可以看出，对于细长梁，梁中的最大正应力比最大切应力要大得多。因此在校核梁的强度时，有时可以忽略剪力的影响。

（3）求32a工字钢截面最大切应力。由型钢规格表查得，32a工字钢的Iz/Sz＝27.46cm，腹板厚度d＝0.95cm。由式（3.66）得工字钢中性轴上最大切应力为

2.梁的切应力强度条件

对于等直梁，梁弯曲时其最大切应力τmax发生在最大剪力FQ，max所在的截面上，且一般位于该截面的中性轴上。归纳上面的分析结果，全梁各截面中最大切应力τmax可统一表达为

式中：FQ，max为全梁的最大剪力；为横截面上中性轴一侧的面积对中性轴的静矩；b为横截面在中性轴处的宽度；Iz是整个横截面对中性轴的惯性矩。

对于横力弯曲下的等直梁，其横截面上既有弯矩又有剪力。梁除保证正应力强度外，还需满足切应力强度要求。等直梁的最大切应力通常发生在中性轴各点处，而该处各点的正应力恰好为零，忽略纵截面的挤压应力后，最大切应力所在各点处于纯剪切应力状态。于是，仿照纯剪切应力状态下的强度条件，来建立弯曲切应力强度条件，即

式中：[τ]为材料在横力弯曲时的许用切应力，其值在有关设计规范中有具体规定。

一般说来，在进行梁的弯曲强度计算时，除应满足弯曲正应力强度条件外，还应满足切应力强度条件。在工程中，通常是先按正应力强度条件来选择截面尺寸，再按切应力强度条件进行校核。对于细长梁，如果满足正应力强度条件，一般都能满足切应力强度条件，一般可以不再进行切应力强度校核。只有在下述一些情况下，必须进行切应力强度校核：

（1）梁的跨度较小或者在支座附近作用较大的荷载，使梁的弯矩较小，而剪力可能很大。

图3.60

（2）铆接或焊接的组合截面梁，如工字形截面、槽形截面等，若腹板较薄且高度很大，致使厚度与高度的比值小于型钢的相应比值，腹板上产生较大的剪应力。

（3）由于木材的顺纹抗剪能力很差，当截面上切应力很大时，木梁可能沿中性层发生剪切破坏。

【例3.17】 一外伸工字型钢梁，工字钢型号为22a，梁上荷载如图3.60（a）所示。已知l＝6m、F＝30k N、q＝6k N/m，材料的许用应力[σ]＝170MPa、[τ]＝100MPa，试校核该梁的强度。

解：首先计算梁的支座反力为

FRB＝29k N， FRD＝13k N

再绘制出梁的剪力图和弯矩图，如图3.60（b）、（c）所示。由FQ图和M图可知，最大弯矩和最大剪力分别

Mmax＝39k N·m， FQ，max＝17k N

由型钢规格表查得22a工字钢有关数据为

最后，分别用正应力强度条件和切应力强度条件来校核梁的强度。

梁的最大正应力为

梁的最大剪应力为

故梁满足强度要求。

【例3.18】 一简支梁受有四个集中荷载作用F1＝120k N，F2＝30k N，F3＝40k N，F4＝12k N，如图3.61（a）所示。此梁由两根槽钢组成，如图3.61（b）所示。已知材料的许用应力为[σ]＝170MPa，[τ]＝100MPa。试选择槽钢的型号。

解：首先计算梁的支座反力为

FRB＝64k N， FRA＝138k N

再作出梁的剪力图和弯矩图，如图3.61（c）、（d）所示。由FQ图、M图可知，最大弯矩和最大剪力分别为

Mmax＝62.4k N·m， FQ，max＝138k N

图3.61

先根据梁的正应力强度条件选择截面，由，可得梁的弯曲截面系数，即

则每一根槽钢应有抗弯截面系数为

从型钢规格表中选用20a号槽钢，其抗弯截面系数为

Wz＝178cm3

此值稍小于所需弯曲截面系数最小值183.5cm3，但仅相差约3%。此时选用两根20a槽钢时的最大正应力

超过许用正应力[σ]约3%，由于此差异在一般规定的5%范围内，故可选用。

再用切应力强度条件对梁进行校核。由于梁跨长较短，且荷载F1作用在A支座附近，故须校核梁的切应力强度。由型钢表查得20a槽钢的有关数据为

Iz＝1780.4cm4， d＝7mm

每根槽钢z轴的一侧截面对中性轴z的静矩，由20a号槽钢截面简化后的尺寸[图3.61（e）]计算得

则每根槽钢中性轴上最大剪应力为

满足梁的切应力强度条件，故可使用2根20a槽钢组成的梁。