根据轨迹分析法优化系统设计

在经典控制理论中，控制系统设计的重要评价取决于系统的单位阶跃响应。应用根轨迹法，可以迅速确定系统在某一开环增益或某一参数值下的闭环零、极点位置，从而得到相应的闭环传递函数。这时，可以利用拉氏反变换法确定系统的单位阶跃响应，由阶跃响应不难求出系统的各项性能指标。然而，在系统初步设计过程中，重要的方面往往不是如何求出系统的阶跃响应，而是如何根据已知的闭环零、极点去定性的分析系统的性能。

1.主导极点与偶极子

一旦用根轨迹法求出了闭环零点和极点，便可以立即写出系统的闭环传递函数。于是，或用拉氏反变换法，或用计算机求根程序，都不难得到系统的时间响应。然而，在工程实践中，常常采用主导极点的概念对高阶系统进行近似分析。例如研究具有如下闭环传递函数的系统：

该系统的单位阶跃响应

h（t）＝1－0.024e－10t＋1.55e－t coS（t＋129°）

式中，指数项是由闭环极点s1＝－10 产生的；衰减余弦项是由闭环复数极点s2，3＝－1±j产生的。比较两者可见，指数项衰减迅速且幅值很小，因而可略。于是

h（t）≈1＋1.55e－t coS（t＋129°）

上式表明，系统的动态性能基本上由接近虚轴的闭环极点确定。这样的极点，称为主导极点。因此，主导极点定义为对整个时间响应过程起重要作用的闭环极点。必须注意，时间响应分量的消逝速度，除取决于相应闭环极点的实部值外，还与该极点处的留数，即闭环零、极点之间的相互位置有关。所以，只有既接近虚轴，又不十分接近闭环零点的闭环极点，才可能成为主导极点。

如果闭环零、极点相距很近，那么这样的闭环零、极点常称为偶极子。偶极子有实数偶极子和复数偶极子之分，而复数偶极子必共轭出现。不难看出，只要偶极子不十分接近坐标原点，它们对系统动态性能的影响就甚微，从而可以忽略它们的存在，例如研究具有下列闭环传递函数的系统：

在这种情况下，闭环系统有一对复数极点－1±j、一个实数极点－a 和一个实数零点－（a＋δ）。假定δ→0，即实数闭环零、极点十分接近，从而构成偶极子；同时假定，实数极点－a 不非常接近坐标原点，则式（4-49）系统的单位阶跃响应为

考虑到δ→0，故上式可简化为

在关于δ和a 的假定下，式（4-51）可进一步简化为

此时，偶极子的影响完全可以略去不计。系统的单位阶跃响应主要由主导极点－1±j决定。

如果偶极子十分接近原点，即a→0，式（4-51）只能化简为

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这时，δ与a 是可以相比的，δ/a 不能略去不计，所以接近坐标原点的偶极子对系统动态性能的影响必须考虑。然而，不论偶极子接近坐标原点的程度如何，它们并不影响系统主导极点的地位。复数偶极子也具备上述同样性质。

具体确定偶极子时，可以采用经验法则。经验指出，如果闭环零、极点之间的距离比它们本身的幅值小一个数量级，则这一对闭环零、极点就构成了偶极子。

在工程计算中，采用主导极点代替系统全部闭环极点来估算系统性能指标的方法，称为主导极点法。采用主导极点法时，在全部闭环极点中，选留最靠近虚轴而又不十分靠近闭环零点的一个或几个闭环极点作为主导极点，略去不十分接近原点的偶极子，以及比主导极点距虚轴远6 倍以上的闭环零、极点。这样一来，在设计中所遇到的绝大多数有实际意义的高阶系统，就可以简化为只有一、两个闭环零点和两、三个闭环极点的系统，因而可用比较简便的方法来估算高阶系统的性能。为了使估算得到满意的结果，选留的主导零点数不要超过选留的主导极点数。

在许多实际应用中，比主导极点距虚轴远2～3 倍的闭环零、极点，也常可放在略去之列。此外，用主导极点代替全部闭环极点绘制系统时间响应曲线时，形状误差仅出现在曲线的起始段，而主要决定性能指标的曲线中、后段，其形状基本不变。应当注意，输入信号极点不在主导极点的选择范围之内。

最后指出，在略去偶极子和非主导零、极点的情况下，闭环系统的根轨迹增益常会发生改变，必须注意核算，否则将导致性能的估算错误。例如在式（4-49）中，显然有Φ（0）＝1，表明系统在单位阶跃函数作用下的终值误差eSS＝0；如果略去偶极子，简单化成

则有Φ（0）≠1，因而出现了在单位阶跃函数作用下，终值误差不为零的错误结果。

2.系统性能的定性分析

采用根轨迹法分析或设计线性控制系统时，了解闭环零点和实数主导极点对系统性能指标的影响，是非常重要的。例如某一控制系统，由于闭环零点的存在，将使系统的峰值时间提前，这相当于减小闭环系统的阻尼，从而使超调量加大，当闭环零点接近坐标原点时，这种作用尤甚。对于具有一个闭环实数零点的振荡二阶系统，不同零点位置与超调量之间的关系曲线，如图4-21所示。一般说来，闭环零点对调节时间的影响是不定的。

图4-21　零点相对位置与超调量关系曲线

闭环实数主导极点对系统性能的影响是：闭环实数主导极点的作用，相当于增大系统的阻尼，使峰值时间滞后，超调量下降。如果实数极点比共轭复数极点更接近坐标原点，甚至可以使振荡过程变为非振荡过程。闭环实数极点的这种作用，可以用下面的物理浅释来说明：显然，无零点三阶系统相当于欠阻尼二阶系统与一个滞后的平滑滤波器的串联，因此欠阻尼二阶系统的时间响应经过平滑滤波器后，其峰值时间被滞后，超调量被削弱，过渡过程趋于平缓。实数极点越接近坐标原点，意味着滤波器的时间常数越大，上述这种作用越强。

闭环系统零、极点位置对时间响应性能的影响，可以归纳为以下几点：

（1）稳定性。如果闭环极点全部位于s 左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定性只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。

（2）运动形式。如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。

（3）超调量。超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率，并与其他闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。

（4）调节时间。调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值σ1＝ζωn；如果实数极点距虚轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的幅值。

（5）实数零、极点影响。零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。它们的作用，随着其本身接近坐标原点的程度而加强。

（6）偶极子及其处理。如果零、极点之间的距离比它们本身的幅值小一个数量级，则它们就构成了偶极子。远离原点的偶极子，其影响可略；接近原点的偶极子，其影响必须考虑。

（7）主导极点。在s 平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点的一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为主导极点。凡比主导极点的实部大6 倍以上的其他闭环零、极点，其影响均可忽略。