复杂电路的分析方法简介

1.5　复杂电路的基本分析方法

在物理学中，能够用电阻串、并联将电路化简，并用欧姆定律直接求解的电路，那是简单电路。在本节中，我们将介绍复杂电路的分析与计算，其主要内容是给定电路的结构及元件的参数，要求计算出电路中各支路的电流或电压，有时还要求计算元件的功率等。

不论实际电路如何复杂，它都是由支路和节点组成。因此，各支路电流和各部分电压必定遵循基尔霍夫的两个定律及欧姆定律。所以它们是分析与计算电路的理论基础和基本工具。解决复杂电路问题的基本方法有支路电流法、回路电流法和节点电压法，这里只介绍支路电流法和节点电压法。

1.5.1　支路电流法

支路电流法是以支路电流为变量，根据KCL和KVL及欧姆定律，直接列出电路中的节点电流方程和回路电压方程，然后联立求解，求出各支路电流。

在电路中如果有b条支路，应用支路电流法计算各支路电流时，就必须列写出b个独立的方程。网络拓扑学理论指出：若电路中有b条支路、n个节点时，将有（n-1）个独立的节点电流方程和[b-（n-1）]个独立的回路电压力程。

下面以图1-24电路为例说明支路电流法的解题方法及步骤。图中电压源E₁、E₂和电阻R₁、R₂、R₃均是已知的。

支路电流法分析计算电路的一般步骤如下：

（1）找出电路中的支路数（b条）、节点数（n个），给各支路设定电流并给出各支路电流参考方向，如图1-24所示。

（2）根据KCL，对（n-1）个节点列节点电流方程。

（3）根据KVL，对b-（n-1）个回路分别列出回路的电压方程。

（4）将（2）、（3）两步列出的方程联立求解，即可求得各支路电流的值。

【例1-5】在图1-24中，若E₁=120V,E₂=72V,R₁=2Ω，R₂=3Ω，R₃=6Ω，求各支路电流。

解：该电路有3条支路，2个节点，即b=3，n=2。各支路电流及其参考方向如图中所示。应用KCL，对节点A有

I₁+I₂-I₃=0

应用KVL，对其中的ABCDA回路、AEFBA回路分别可列出其回路方程，将已知数据代入，即得

2I₁+6I₃=120

3I₂+6I₃=72

联合各式解得I₁=18A,I₂=-4A,I₃=14A。

【例1-6】在图1-25所示的桥式电路中，设U_S=12V,R₁=R₂=5Ω，R₃=10Ω，R₄=5Ω。中间支路是一个检流计，其内阻R_G=10Ω。试求该检流计中的电流I_G。

解：此桥式电路的支路数b=6，节点数n=4，各支路电流的参考方向如图1-25所示。应用KCL和KVL可列出以下六个方程：

节点A　　　　I₁-I₂-I_G=0

节点B　　　　I₃+I_G-I₄=0

节点C　　　　I₂+I₄-I=0

回路ABDA　　 I₁R₁+I_GR_G-I₃R₃=0

回路ACBA I₂R₂-I₄R₄-I_GR_G=0

回路ABCD I₃R₃+I₄R₄-U_S=0

解得

将已知数值代入得

I_G=0.126A

当R₂R₃=R₁R₄时，I_G=0，这时电桥平衡。

电桥平衡时，除I_G=0外，还满足U_AB=0，故可视AB对角线为短路或开路或接入任意阻值电阻，都不会影响整个电路的计算。因此，在遇到桥式电路时，应首先判断其是否满足电桥平衡的条件。若电桥平衡，电路的分析计算就简单了。

由例1-6可知，当支路数较多而只求一条支路的电流时，用支路电流法计算，步骤极为繁杂。

1.5.2　节点电压法

节点电压法是以电路中的节点电压为未知量的电路分析法。所谓节点电压，就是节点对参考点的电位。因此，在应用节点电压法解题时，应在电路中先选一个参考点，其参考点的电位为0。n个节点的电路，有n-1个节点电压，利用欧姆定律或KVL即可由各节点电压求出各支路电流。这种方法用于多支路少节点的电路分析，由于方程数的减少而较为方便。尤其对有多条支路仅有2个节点电路的计算更为方便。

下面以图1-26所示电路为例，导出节点电压方程组，并指出其特点，以便掌握列写节点电压方程组的系统化方法。

电路中有4个节点，以D点为参考点，即U_D=0，须求得A节点电压U_A，B节点电压U_B，C节点电压U_C。

按图1-26中各支路电流的参考方向，由欧姆定律和KVL可得各支路的电流为

由KCL得

节点A的电流方程：　　　　I₁+I₂+I₄+I_S=0

节点B的电流方程：　　　　I₂-I₃-I₅=0

节点C的电流方程：　　　　I₃+I₄+I_S-I₆=0

将I₁～I₆分别代入上述的3个电流方程，并联合求解方程组，就可求出各节点的电位，然后再求出各支路电流。

本章小结(www.xing528.com)

1.电路是电流的通路。电路由电源、负载和中间环节3部分组成。电路的作用是：①实现电能的传输和转换。②实现信号的传递和处理。

2.电路中的基本物理量有电流、电压（电位、电动势）、电功率等。任何电路都是在电动势、电压或电流的作用下进行工作的，对于电路的分析和计算就是要讨论电压、电动势和电流状态及它们之间的关系。

3.在分析电路时，应先标出电流、电压的参考方向。参考方向是人为假定的方向，它是分析计算电路的依据。为了方便起见，常将电流和电压的参考方向选择为关联参考方向。

4.电路的基本元件包括电阻、电感、电容及电压源和电流源。其中，电阻、电感和电容属于负载类元件；电压源和电流源是电源的两种表达形式，在一定条件下，电压源和电流源可以等效变换，而恒压源和恒流源是不能互相变换的。

5.电阻串联时，流过每个电阻上的电流相等；电阻并联时，每个电阻上的电压相同。两个电阻串联时的等效电阻为R=R₁+R₂，分压公式为

两个电阻并联时的等效电阻为R=，分流公式为

6.电路有3种状态，即有载工作状态、断路状态和短路状态。电路断路时电路中的电流等于零；电路短路时电路中的电流急剧增大，短路是一种电路故障。

7.基尔霍夫电流定律是反映电路中，对任一节点相关联的所有支路电流之间的相互约束关系；基尔霍夫电压定律是反映电路中，对组成任一回路的所有支路电压之间的相互约束关系。

基尔霍夫电流定律用于节点时，其表达式为

∑I=0

基尔霍夫电压定律用于回路时，其表达式为

∑U=0

8.支路电流法的出发点是以电路中各支路的电流I为未知变量，然后应用基尔霍夫定律列方程组并求解计算。其步骤如下：

（1）找出电路中的支路数（b条）、节点数（n个），给各支路设定电流并给出各支路电流参考方向。

（2）根据KCL，对（n-1）个节点列节点电流方程。

（3）根据KVL，对b-（n-1）个回路分别列出回路的电压方程。

（4）将（2）、（3）两步列出的方程联立求解，即可求得各支路电流的值。

9.节点电压法是以节点电压为未知数，应用基尔霍夫电流定律列出（n-1）个方程求解节点电压，继而求出各支路电流的解题方法。

练习题

1.对一个已设出电流、电压参考方向的二端电路，如何识别是关联参考方向还是非关联参考方向?

2.下列说法中，哪些是正确的，哪些是错误的?

（1）所谓线性电阻，是指该电阻的阻值不随时间的变化而变化。

（2）线性电阻的伏安特性与施加电压的极性无关，即它是双向性的。

（3）电阻元件在电路中总是消耗电能的，与电流的参考方向无关。

（4）根据式P=U²/R可知，当输电电压一定时，输电线电阻越大，则输电线损耗功率越小。

（5）电感元件两端的电压与电流的变化成正比，而与电流的大小无关。

（6）当电容两端电压为零时，其电流必为零。

（7）电路元件两端短路时，其电压必为零，电流不一定为零；电路元件开路时，其电流必为零，电压不一定为零。

（8）在稳定的直流电路中，电感元件相当于短路，电容元件相当于断路。

3.有110V、15W及110V、40W的白炽灯灯泡各一个，能否将它们串联接到220V电源上使用?

4.将两只额定电压都为110V，额定功率分别为60W与25W的灯泡串联接到220V的电源上，灯泡能否正常发光?为什么?若将两只相同的灯泡串联接到220V电源上又如何呢?

5.有一个220V、1000W的电阻炉，如将其电阻丝的长度减少一半再按入电源，问此时该电炉的电阻、电流及功率是多少?

6.已知节日彩灯的电阻为20Ω，额定电流为0.1A，问应有多少只这样的灯泡串联，才能把它们接到220V的电源上?

7.一直流负载，额定电压5V，电阻为200Ω，问应串联多大电阻才能把它接到9V的电源上使用，并求串联电阻的功率。

8.某电阻负载接到220V的电源上时，电流为2.2A，问应串联多大电阻才能使电流为1A?这个串联电阻至少应有多大功率?

9.在一蓄电电池的两端先接一电阻R₁=10Ω，测得其输出电流I₁=0.5A，再换接一电阻R₂=20Ω，其输出电流变为I₂=0.3A，试求此蓄电电池的开路电压及内阻。

10.电路如图1-27所示，试求开关Q打开及闭合时，A、B和C、D间的等效电阻（图中各电阻的单位为欧姆）。

11.已知某复杂电路的一部分电路如图1-28所示，各电流表A₀、A₁、A₂的读数分别为4A、2A、2A,R₁=200Ω、R₂=100Ω、R₃=50Ω。求电流表A₃及A₄的读数。

12.用支路电流法求图1-29中的电流I₁、I₂、I₃。

13.用支路电流法求图1-30中的电流I₁、I₂、I₃。

14.已知电路如图1-31所示，试求各支路电流。

15.已知电路如图1-32所示，R₁=5Ω，R₂=3Ω，R₃=20Ω，R₄=42Ω，R₅=2Ω，U_S1=45V,U_S2=48V，试求各支路电流。