实验求解：对流换热过程探究

对流换热过程的实验求解方法是通过实验得出包括待求换热系数αx在内的诸变量（αx，x，λ，υ，⋯）之间的变化规律。如直接由特定的实验采用变动一个量而固定其他各量的方法，以逐个确定各变量之间的影响程度，从而综合出所求的变化规律。但这种方法不仅在变量较多时工作量异常庞大，而且所得的结果也有局限性，不能推广应用到与实验条件有区别的其他同类现象上去。因此，常用相似理论和量纲分析等方法，把这些变量组合成少数几个无量纲准则（例如Re，Pr和Nu准则等），并导出它们之间的准则方程式，例如Nu＝f（Re，Pr）等。然后以这些准则作为新的变量来组织实验，确定它们之间的具体函数关系。这样，由于变量减少，可使实验所花的工作量大大地减少，而且重要的是，所得的结果可以推广应用于与实验系统相似的现象，因而具有一定的普遍性。因为准则方程式是由实验结果所综合，既可靠又方便，所以工程计算中被广泛采用。相似理论法，由于首先要建立描述现象的微分方程式和单值性条件，所以必须深入理解现象的机理。它对于虽已建立微分方程式但却难以分析求得分析解的现象，有它独特的优点。量纲分析法，使用方便，仅需知道与现象有关的因素，因此对于无法建立微分方程式的现象，它的确是一种有用的工具，它的不足之处是，万一遗漏具有影响的因素，或者把不起作用的因素包含在内，即使只有一个，都会出现不同程度的误差。就这方面来说，相似理论法能提出可靠的保证。以下仅介绍相似理论法，其他方法可参阅有关传热学著作。

一、相似准则及准则方程

相似理论已在流体力学中作了阐述，在此不再赘述。下面根据相似理论，用两种方法导出对流换热过程的相似准则及准则方程。

1.相似变换法

凡是相似的对流换热现象，首先要求对流换热壁面的几何图形必须相似。此外，要求对应的瞬间其同名物理量成比例。还要求时间条件相似，若为不稳定过程还要求同名物理量随时

图15-8 运动相似和热相似

间的变化规律要相似。对于稳定过程，可不考虑时间条件。以图15-8所示流体在管内受迫流动时的两个相似的对流换热过程为例，描述它们的边界层微分方程组有着相同的形式：

由于两现象相似，则对应的同名物理量成比例：

将式（b）中的物理量都用式（a）中的同名物理量乘以相似常数来表示，则式（b）为

将式（d）与式（a）比较，则

将式（c）代入式（e）得

这表明两对流换热现象相似，其无量纲数αl/λ必相等。称这无量纲数αlλ/为努塞尔准则，用Nu表示。亦即，对于两相似的对流换热现象，则

同理，由动量方程可导出

称wl/υ为雷诺准则，用Re表示。因此，对于两流体运动相似时，则

Re′＝Re″

再由能量方程导出

表明两流体对流换热温度场相似时，无量纲量wl/a必相等。称这一热相似的准则为贝克来准则，用Pe表示。因此，对于两相似的对流换热温度场，则Pe′＝Pe″。在Re和Pe中都包含有w及l，把二者相除可导出

pr准则决定于流体的物性，所以也称物性相似准则。

若流体处于自然对流换热过程，则动量方程内将包括由于流体与壁面温差Δt而引起的浮升力项。这时式（15-18）改写为

式中，g为重力加速度，m/s2；β为流体容积膨胀系数，1/K；Δt为流体与壁面的温度差，℃。

用相似变换导出浮升力准则：

由此式可得

还可得

或

则

因此

它表明两流体自然对流运动相似时，无量纲量

必相等。我们称它为格拉晓夫准则，用Gr表示。因此，对于两相似的自然对流运动现象，则

由描述对流换热现象的微分方程组导出的相似准则，可以用来组成准则方程。

当流速较小、Re数较低时，求解对流换热既要考虑到受迫对流的影响，又要考虑到自然对流换热的影响，其准则方程为

若只是受迫对流换热，则上式化简为

若只是自然对流换热，则式（15-40）化简为

2.无量纲化法

以流体纵掠平板的对流换热为例，说明如何应用无量纲化法来获得相似准则及准则方程。当常物性不可压缩流体沿恒温平板作二维低速稳定层流流动时，描述速度边界层内的速度分布的方程式，为动量微分方程式和连续性微分方程式，亦即式（15-18）、式（15-17）

几何条件和物理条件给定，时间条件因过程稳定而不需要。边界条件为

为使自变量x，y和因变量wx，wy变为无量纲量，分别以具有代表性的同类量板长L和速度w∞来除，得到

将式（c）代入式（a）得

式（d）中，只有物性参数υ、板长L和速度w∞具有量纲，如以同除式中各项，并引入

就能得到描述速度边界层中无量纲的速度分布的微分方程式

以无量纲形式表示的边界条件为

显然，式（15-43）中无量纲因变量wx′，wy取决于无量纲的自变量x′，y ，以及该式中的其他无量纲量和边界条件，而δ′是x和Re的函数，因此式（15-43）必具有下列形式的解

由此式可知，速度边界层中速度场相似的条件为几何相似和雷诺数相等。

本例中，描述热边界层内温度分布的方程式为能量微分方程式，即式（15-19）

边界条件为

因温度t仅以微分形式出现在式（15-19）中，故可采用平板壁温t W作为温度度量的基准。这样，任意点的温度可用过余温度θ＝t－t W来表示。因而上式可写为

若以来流的过余温度θ∞＝t∞－t W作为温度的测量单位，则流场中任意点的无量纲过余温度为

将θ′和式（c）中的x′′，y′，wx′，wy′等无量纲量引入式（15-44），得到

以 w ∞θ∞/L 同除上式 ，又因 Re＝w∞L/υ，Pr＝υ/a2，故上式可写成

式（15-45）即为描述边界层内无量纲过余温度分布的能量微分方程式，而无量纲的边界条件为

其中，δt′＝δt/L，它是′、Pr和Re的函数，由前述，式（15-45）的解必为下列形式：

在引入式（f）中wx′和wy′的函数关系后，又可表示为

上式即为热边界层中无量纲的过余温度分布表达式。由此式可知，对流换热过程温度场相似的条件为几何相似和雷诺数Re及普朗特数Pr分别相等。

对于本例中的恒温平板，沿板长L的平均换热系数为

令

把dx＝Ldx′代入上式，并把积分限改为0/L＝0到L/L＝1，而得

由换热微分方程式，即式（15-5），对于任一x处的局部换热系数

如利用

和

将y和t转换成无量纲的变量，可得

把式（1）代入式（k），经整理并使等号两边都是无量纲的量，则得

利用式（j）可导出贴壁流体的无量纲过余温度梯度

将上式代入式（m），并对x积分以消除所得的结果与x的联系，最后得到描述换热现象的准则方程式

式（15-46）中包含有未知量α的无量纲数Nu，从式（m）可知，Nux数等于换热表面上决定换热强度的无量纲过余温度梯度。

上述对层流边界层中换热规律所得到的结果，即式（15-46）的形式，同样可以引申用于紊流边界层中的换热现象。

用同样的方法，可以求得自然对流换热时的准则方程式

式中，Gr＝βgΔtL3/υ2，称为格拉晓夫数（准则），它反映浮升力和粘性力的对比关系。

当流速较小、Re数较低时，求解对流换热既要考虑到受迫对流的影响，又要考虑到自然对流换热的影响，其准则函数式为

到此为止，可归纳出以无量纲化法，求解强迫对流和自然对流换热的准则函数式的步骤如下：

（1）根据现象的特点，列出描述该现象的微分方程式和单值性条件；

（2）在微分方程式和单值性条件所有的物理量中选择适当的并有代表性的测量单位，使所有的物理量都化为无量纲量；

（3）把所得无量纲量代入微分方程式和单值性条件，得出无量纲微分方程式和单值性条件；

（4）由无量纲的微分方程式和单值性条件确定准则方程式的函数形式，即待定准则与哪些已定准则有函数关系。

二、相似理论指导实验(www.xing528.com)

实验求解是通过实验测量，把一个具体的换热问题的变化规律用一定的数学形式表示出来，供工程实际应用。因此必需懂得：在实验中应当测量哪些量；对测出来的量如何整理成经验公式；这些公式允许应用在哪些范围。

1.物理量的测量

在实验中应该测量与描述现象的微分方程组有关的相似准则中所包括的一切物理量。例如，对于流体受迫对流换热过程，应测量Nu＝αl/λ，Re＝wl/υ以及Pr＝υ/a三个相似准则中包括的物理量。其中有关的物性参数υ，λ，cp，ρ又是流体温度的函数，因此还需测量流体的温度tf以及壁温t W。若这些物性参数随压力的变化不可忽视，还得测量流体的静压p。

2.把实验结果整理成准则形式的经验公式

如受迫对流换热，把实验结果整理成

的函数形式。含有待定值α的Nu数称为待定准则，它只与两个已知准则Re和Pr有关，做实验时采用孤立因素法先使Re不变取不同的5个Pr值，再让Pr不变取5个不同的Re值，只要做52＝25个实验便可得到准则方程。通常可表达成指数方程

并给出实验点偏离该方程的平均离散度和最大离散度。可大大地减少实验的次数。

3.实验结果可推广应用于与实验现象相似的所有现象

例如，整理50个流体受迫运动横掠圆管这类实验现象的有关数据，并得出准则方程

这50个同类现象的Re数、Pr数都有一定范围。只要在规定的Re和Pr数范围内，且单值性条件相似的任何现象，都与此方程曲线上所包括的某一实验点代表的那个对流换热现象相似。

三、准则方程函数关系的确定

1准则形式的经验公式

对流换热问题的准则函数形式，通常整理成幂函数的形式，如流体受迫流过单圆管的对流换热过程

式中，c、n及m都需要整理大量实验数据来确定。

为了说明得出准则形式经验公式的方法，可以把上式简化。例如，只研究空气对单圆管横掠时的对流换热过程。由于空气的Pr值随温度的变化不大，可近似地取为Pr＝0.72，则Prf对Nuf的影响可归入经验系数c1中，则式（15-49）可写为

如果用logNuf作为纵坐标，logRef作为横坐标，把上式画在对数坐标上即可得一条直线，即

式中：logNuf与logRef——分别为纵坐标与横坐标；

logc1——直线方程的纵截距；

n＝tan——直线的斜率。

2.定性温度的选择

对流换热系数α的大小，取决于壁面热边界层的厚度δt和该层流体的导热系数λ。因此，从这个意义上来讲，定性温度选用流体热边界层的算术平均温度

较为恰当。但是，这样的定性温度不能反映热流方向对换热系数的影响。因为同一流体在流速、定形尺寸和算术平均温度均相同的情况下流体可以是被加热或被冷却（即热流方向不同的）。这时虽然Rem和Prm值不变，但由于热流方向不同引起t W的变化，使紧贴壁面处流体的λ值、μ值亦发生变化，这样，实验测得的α值就不相等，显然包括α在内的准则Num值也不相等。因此，通过实验数据所得到的坐标图（以Rem作横坐标，以Num作纵坐标，Prm作参变量）上会出现比较分散的一群实验点。这样就使由这些点整理出来的方程式的平均偏差较大，因此，定性温度的选择应该选取使实验点偏离准则方程的离散度最小的温度值。通常采用流体温度tf为定性温度，再辅以修正项Prf/Pr W来考虑热流方向对α的影响。有的学者整理得出的经验方程用μf/μW来修正热流方向和流体与壁面温差的影响。这两种方程式的形式表示如下：

在采用经验公式时，必需按照规定的定性温度来计算各准则值。

3.定形尺寸

一根外径为d0、内径为di、长为l的圆管应该如何选取定形尺寸呢？应该选择对换热系数α影响最大的尺寸作为定形尺寸。实践证明，对于长为l的竖管的自然对流换热采用l为定形尺寸；对于管子横置时的自然对流换热，采用d0为定形尺寸；对于流体管内受迫对流换热，采用di为定形尺寸。对于非圆形的任意截面取当量直径dc为定形尺寸

式中：A——流通截面积，m2

U——流体与截面积接触的周长，称“湿周”，m。

4.空气横掠单管时对流换热准则经验公式

通过实验测出空气横掠直径为12mm的圆管，在不同风速w（m/s）时的管壁热流密度q、壁温t W、空气在单管前后的温度tf1、tf2，实验装置简图如图15-9所示。按有关公式计算出α， Nuf和Ref值列入表15-1中。

表15-1 不同w值的空气横掠圆管时对应的α和Nuf实验值

图15-9 空气横掠单管时的对流换热实验装置简图

把表15-1中的w和α值在图15-10所示的对数坐标图中画出8个点，通过这些点作一直线表示出α和w的关系，即

同理，将Ref和Nuf的实验数据表示在Nuf和Ref的对数坐标上，也得出Nuf和Ref的关系方程，即

指数n1和n2在对数坐标中是直线的斜率，即

用尺量出a和b的值，代入上式得

c1的值可根据下式计算，即

同理，取8个点可求得8个c1值，取其平均值较为准确。

图15-10 确定指数函数的系数和幂的图解法

对表15-1所得数据，求得c1的平均值为

则α＝f（w）的方程式为

同理，可以确定Nuf＝f（Ref）的方程式为

必须注意式（15-54）和式（15-55）有原则的区别。式（15-54）是实验法求α的经验公式，它只适用于与实验情况相同的空气横掠单管对流换热过程。而式（15-55），由于整理成为准则方程，并且经实验证明它也是其他气体横掠不同尺寸单圆管时所具有的准则方程，因此，可以应用于Pr≈0.72的任何气体横掠单管的换热过程。但必须在规定的Ref＝6000～20000的范围内。

四、总结说明

综上所述，相似理论对于实验研究对流换热问题的指导意义在于找到了现象相似、其同名准则相等的特征，以及用同一组微分方程式所得出的相似准则可以组成准则方程式来描述这一组微分方程式的解。用实验数据综合得出的准则方程式，反映了一类现象中无数相似现象中的任一个别现象。因此，由一定的实验范围所确定的某一具体准则方程式，可以供工程实际中求解规定范围内的具体过程所用。

在确定和使用准则方程函数关系式时，要注意以下三个问题。

1.特征长度应该按准则式规定的方式选取

前已指出，包括在准则数中的几何尺度称为特征长度，例如在Re数、Nu数中均包含有特征长度。原则上，要把所研究问题中具有代表性的尺度取为特征长度，例如管内流动时取管内径，外掠单管或管束时取管子的外径等。但对一些较复杂的几何系统，不同准则方程可能会采用不同的特征长度，使用时要加以注意。

2.定性温度应该按准则式规定的方式选取

前已指出，定性温度用以计算流体的物性。对同一批实验数据，定性温度不同使所得到准则方程也可能不一样。整理实验数据时定性温度的选取除应考虑实验数据对拟合公式的偏离程度外，也应照顾到工程应用的方便。常用的选取方式有：通道内部流动取进出口截面的平均值；外部流动取边界层外的流体温度或取这一温度与壁面温度的平均值。

3.准则方程的应用范围

准则方程不能任意推广到得到该方程的实验参数的范围以外，这种参数范围主要有Re数范围、Pr数范围、几何参数范围等。

最后，为读者学习和使用方便，在此把常用的相似准则数的名称、符号、定义式以及物理意义等总结在表15-2中。

表15-2 常用的相似准则数

复习思考题

1.热边界层和速度边界层有何区别？有何共同点？

2.在平板前缘x＝0处的层流边界层厚度为多少？为何随着x的增大δ层增大？

3.紊流边界层中为何又有粘性底层？紊流边界层中的温度场与层流边界层的温度场有何区别？

4.为什么换热微分方程对层流和紊流的对流换热都适用？如何用该式求换热系数α？

5.影响对流换热的主要因素有哪些？

6.为何需要有4个方程所组成的对流换热微分方程组才能描述不可压缩流体掠过平板的稳定对流换热过程？空气是可压缩的，这些方程对空气是否不能用？

7.假定在热边界层内的温度分布为直线关系，其温度梯度，试问求换热系数α的公式可简化为什么形式？

8.式（15-37）：是如何求得的？

9.用相似理论整理空气掠过平壁的对流换热实验数据，是否也可得出式（15-39），或与式（15-39）形式相同、但系数不一样的准则方程？

10.用无量纲化法得出描述某一现象的准则函数式有哪几个步骤？

11.经验公式（15-54）与准则经验公式（15-55）有何区别？

习题

1.试计算20℃空气、润滑油以及水银以流速1m/s流过平板时，在x＝0.5m处层流边界层的厚度δ层。

2.试计算上题中空气、润滑油以及水银流过平板时的热边界层厚度δt与层流边界层厚度δ层之比。

3.在101325Pa压力下，温度tf＝27℃的空气以w∞＝30m/s的速度掠过t W＝127℃的平壁，求距平壁前缘50mm处的速度边界层厚度δ、热边界层厚度δt和局部换热系数αx。再用αx＝1.5λ/δt计算，看两者的差别有多少？

4.设定Ref＝Rem＝5×105，求100℃空气对1m长平板的换热系数值。

5.一个能使空气加速到50m/s的风机用于低速风洞之中。空气的温度是25℃。有人想利用该风洞研究平板边界层的特性。要求雷诺数最大达到Rex＝108，问平板的最短长度Lmin应该是多少？在距平板前沿多大距离处开始过渡流态？已知临界雷诺数Rec＝5×105。

6.温度为310.93K的蓖麻油以0.061m/s的速度流过一个非常宽的、长为6.096m的热平板。热平板的表面温度为366.48K。求：（1）板末端速度边界层厚度；（2）平均表面摩擦系数；（3）板末端热边界层厚度；（4）板末端局部换热系数；（5）每单位宽度表面的总热流量。已知：导温系数a＝0.26×10﹣3m2/h，导热系数λ＝0.213W/（m·K）。