如何恰当选择适合的作业类型设计

数学教师设计作业时，除了考虑教学目标以外，还要熟悉作业类型，考虑学生学情。教师了解作业的类型，有助于设计高质量的作业。目前，作业分类的标准不同，有几种不同的分类结果。

（一）按作业形式设计作业

作业形式是数学作业外部特征。按照作业外部特征，作业类型有：判断题、选择题、填空题、解答题和应用题，或者分为三类：求解题、证明题或说明题、变换题或求作题。

（二）按作业完成的方式设计作业

根据教学内容的特点，作业可以设计为阅读作业、理解作业、调查式作业、交流式作业、口头作业和背诵作业等；或者分为书面作业与操作（实践）性作业。

（三）按习题要素分类设计作业

数学作业往往以习题形式出现。数学习题是一个系统：｛Y，O，P，Z｝其中系统各要素分别是：Y表示系统条件；O表示解题依据：P表示解题方法；Z表示系统结论。以四个要素中已知要素的多少，可以将数学习题分为下列四类：

1.标准性习题

标准性习题，是指系统条件、解题依据、解题方法和系统结论四个要素都齐全，即四个要素都为已知的习题。例如作业1。

作业1：已知a，b，c为△ABC的三边，它们的对角分别为A，B，C，若acosB=bsinA，且关于b（x2-1）+c（x2+1）-2ax=0的方程的两根相等，证明△ABC是等腰直角三角形。

2.训练性习题

训练性习题，就是四个要素中只有一个学生不知道，其余三个要素都知道的习题。例如作业2，四个要素中Z系统的结论不知道。

作业2：已知a，b，c为△ABC的三边，它们的对角分别为A，B，C，若asosB=bsinA，且关于b（x2-1）+c（x2+1）-2ax=0的方程的两根相等，判断△ABC的形状。

3.探索性习题

探索性习题，就是四个要素中两个要素不知道，而其余两个则是知道的习题。例如作业3。

作业3：证明恒等式sin3xsin2x+cos3xcos2x=cos32x

4.问题性习题

问题性习题，就是四个要素中仅有一个因素是学生已知的，其余3个是学生不知道的习题，如作业4。

作业4：四面体的截面是什么形状的图形？

通过要素分析，将数学习题分为四类，有利于教师掌握习题的难度。数学习题由易到难的排列顺序是：标准性习题—训练性习题—探索性习题—问题性习题。这四个类型习题可以相互转换，问题性习题可以转换为探索性习题，探索性习题也可转换为训练性或标准性习题，完成从未知到已知转换；同样也可以从已知到未知转换，把标准性习题转化为训练性习题，训练性习题转化为探索性或问题性习题。教师设计作业时可以根据学生的实际情况进行增加习题难度或减轻习题难度，以此来提高学生的学习效率。增加或减少或改变习题要素的个数，是数学教师变式训练过程中常用的一种方法。

（四）按作业在教学中功能设计作业

作业在教学过程中有多种功能，如教学功能、管理功能、评价功能等。根据作业对教学环节中具体功能不同分为：预习型作业、练习型作业、拓展型作业等。

1.预习型作业

预习型作业主要用于上课之前，为学生提供背景信息或学习新内容的铺垫，通常包括阅读教科书或补充材料。预习作业活动既能提高学生学习数学效果，又能提高学习效率。教师设计预习作业一般是学生对教材内容进行概括、回答、填图等，这些作业可以有多种方式呈现，是学习新内容的准备工作。例如，学习函数概念化，让学生复习高中函数的概念，预习作业如下：

作业5：比较高中函数定义与高中函数定义的不同之处，相同之处？

作业6：两个集合A，B，A到B是函数应该满足什么条件？函数的三要素是什么？

作业7：求函数y=2x+3、、y=x2+3x+1的定义域。

作业8：求函数的定义域，并观察x的取值范围。

初中函数概念是数与数之间的对应关系，而高中函数概念是集合与集合之间的对应关系，具体来说是元素与元素之间对应的关系。在学习函数定义域时，教学目标要求学生会解决基本初等函数的定义域和抽象函数的定义域。这些作业的目的就是让学生由具体的函数定义过渡到抽象的函数定义。

2.练习型作业(www.xing528.com)

练习型数学作业是最常见的作业类型。练习型作业通常是针对课堂上学习的数学概念、原的理、公式或法则进行巩固、复习和训练。这种类型的作业一般是针对性专项练习，因而教师在设计作业时必须体现出针对性。比如，在课堂中学习了定义域的解法，学生需要相应的作业进行练习才能掌握。有关定义域的专题练习作业如下：

作业9：求函数定义域。

作业10：已知f（x）的定义域为［-2，2］，求f（x2-1）的定义域。

作业11：已知f（2x+1）的定义域为［1，2］，求f（x）的定义域。

这些作业主要是训练函数的定义域，并巩固函数定义域的求解方法。

3.拓展型作业

数学知识之间相互联系，形成一定的知识网络或域，专项训练之后，还要注重知识之间的内在联系。拓展型作业是当学生完成教学任务之后，为学生提供与教学内容相关的、高于学生现有水平的作业，这种作业的形式有讨论式作业、研究性论文作业。拓展性数学作业都应具有一定的难度，教师要谨慎对待，让这种拓展作业与学生的基础紧密地联系在一起，不能无限制地扩展。例如，定义域拓展作业：

作业12：已知函数的定义域为R，求实数m的取值范围。

作业13：已知的定义域是R，求实数K的取值范围。

（五）按作业内容层次设计作业

在教学实践过程中，一般依据布鲁姆的教学目标分类法对知识进行分类。布鲁姆将学习的认知领域划分为知识、领会、应用、分析、综合、评价六个层次，每个层次又细分为若干个子类。教育目标分类学的六个层次是递进关系，将教育行为按照从简单到复杂的次序排列，具有顺序性和积累性。笔者认为，按照认知层次可以把作业设计为基础型、巩固型和综合型作业。

1.基础型作业

基础型作业，就是让学生巩固基础知识和技能的作业。数学基础知识和技能包括数学术语性知识、具体事实性知识和图形的画法。数学术语性知识，包括定义、符号、公式、运算法则等；具体事实的知识包括数学史中的具体事件，如微积分的发展过程、虚数出现等；数学图形的画法，包括椭圆、双曲线、抛物线和立体图形等。数学教师根据知识的特点，设计复述、识记、判断对错、选择和解答等形式的作业来满足数学基础知识的学习。以余弦定理为例：

作业14：在△ABC中，若a2=b2+c2+bc，则角A为多少。

此作业题是最基本公式的变形的应用，有利于学生熟练掌握，即公式的倒用或逆用。

2.巩固型作业

巩固型作业，就是能够帮助学生理解数学知识或独立操作数学问题的作业。数学概念性知识和命题巧要学生理解。如果学生不理解这些数学知识，就不知道怎样应用。学生需要对应的专项作业进行训练，在训练过程中理解和体验概念、命题内涵，从而掌握概念与命题。

作业15：已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且a2+c2-b2=ac。

（1）求角B的大小；（2）若b=3a，求sinA的值。

上述作业设计的内容就是巩固正弦定理和余弦定理，帮助学生灵活运用定理。

3.综合型作业

综合型作业，是指帮助学生掌握、应用、迁移数学知识的作业。数学知识不是孤立的，概念、命题、公式与法则之间相互联系。数学问题的解决也不是运用某一知识能够完成，而是需要利用多种知识及其知识间的关系。学习数学也不是单独学习一个知识点，往往是多个知识点之间的联系。综合型作业以教学目标为基础，以教学内容为中心扩展知识之间的关系，以此完善学生的认知结构，促进学生的综合应用能力。

作业16：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若

（1）判断△ABC的现状。

（2）若，求ABC面积。

此题就是在基础作业与巩固作业的基础上进行的拓展，倾向于综合应用。如果前两个作业学生能够理解得很透彻，这一综合题学生就能够迎刃而解。

另外，随着人们对作业的研究，渐渐发现设计数学作业可以渗透数学文化。例如，数学趣题，让学生在数学学习的过程中体会快乐；名言中的数学，让学生在数学学习过程中得到启迪；数学日记（周记、作文），让数学走进学生生活，让学生研究数学。例如：

今有七个老太婆，一道动身去罗马。每人都有七匹骡，每匹骡子负七袋，每袋装有七面包，每个面包有七刀，每把小刀有七鞘，所有人物共多少？这是等比数列求和公式应用的趣题。