相关关系：数据、模型与决策

相关分析(correlation)是研究变量之间关系的统计技术,其基本思路是反映两个变量之间的关系。例如,父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系;收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系;粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度(x3)之间的关系;商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系;商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系等。相关关系有以下四大特征,如图8.2所示:

①变量间的关系不能用函数关系精确表达;

②一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定;

③当变量x 取某个值时,变量y 的取值可能有几个;

④各观测点分布在直线周围。

图8.2　相关关系的特征

按照不同的角度,相关关系可以进行如下分类:正相关和负相关,线性相关和非线性相关,完全相关、不完全相关和不相关以及单相关、复相关和偏相关。

按照相关的方向分为正相关和负相关。正相关是指当一个变量的值增加或减少时,另一个变量的值随之增加或减少。例如,工人劳动生产率提高,产品产量随之增加;居民的消费水平随个人所支配收入的增加而增加。负相关是指当一个变量的值增加或减少时,另一变量的值反而减少或增加。例如,商品流转额越大,商品流通费用越低;利润随单位成本的降低而增加。

正线性相关和负线性相关的散点图如图8.3和图8.4所示,其中图8.3所示为强正(负)线性相关,图8.4所示为线性相关。

图8.3　强正(负)线性相关(www.xing528.com)

图8.4　正(负)线性相关

按照相关形式分为线性相关和非线性相关。线性相关又称直线相关,是指当一个变量变动时,另一个变量随之发生大致均等的变动,从图形上看,其观察点的分布近似地表现为一条直线。例如,人均消费水平与人均收入水平通常呈线性关系。非线性相关是指当一个变量变动时,另一个变量也随之发生变动,但这种变动不是均等的,从图形上看,其观察点的分布近似地表现为一条曲线,如抛物线、指数曲线等,因此也称为曲线相关。例如,工人加班时间在一定数量界限内时,产量增加,但一旦超过一定限度,产量反而可能下降,这就是一种非线性关系。非线性相关和不相关的散点图如图8.5所示。

图8.5　非线性(曲线)相关和不相关

按相关程度分为完全相关、不完全相关和不相关。完全相关是指一个变量的数量变化完全由另一个变量的数量变化确定。例如,在价格不变的条件下,销售额与销售量之间的正比例函数关系即为完全相关,此时相关关系便成为函数关系,因此也可以说函数关系是相关关系的一个特例。不相关又称零相关,当变量之间互不影响,其数量变化各自独立时,变量之间的关系为不相关。例如,股票价格的高低与气温的高低在一般情况下是不相关的。不完全相关是指两个变量的关系介于完全相关和不相关之间。由于完全相关和不相关的数量关系是确定的或相互独立的,因此统计学中相关分析的主要研究对象是不完全相关。

按研究的变量(或因素)的多少分为单相关、复相关和偏相关。单相关又称一元相关,是指两个变量之间的相关关系,如广告费支出与产品销售量之间的相关关系。复相关又称多元相关,是指三个或三个以上变量之间的相关关系,如商品销售额与居民收入、商品价格之间的相关关系。偏相关是指在一个变量与两个或两个以上的变量相关的条件下,当假定其他变量不变时,其中两个变量的相关关系,例如,在假定商品价格不变的条件下,该商品的需求量与消费者收入水平的相关关系即为偏相关。