二维随机变量的概念、特征、性质及推广概率论与数理统计

本节主要介绍二维随机变量的有关概念、特征、性质、结论等,这些都不难由二维随机变量推广到二维以上的随机变量的情况。

定义3.1.1 设(X,Y)是二维随机变量,二元实函数

称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X 与Y 的联合分布函数。

实际上,这是定义3.0.2的特例,类似的有边缘分布的概念。

定义3.1.2 随机变量X,Y 的分布函数分别称为二维随机变量(X,Y)关于X,Y 的边缘分布函数。

显然,关于X 的边缘分布函数为

关于Y 的边缘分布函数为

从几何意义上看,二维随机变量的取值可看作平面上的“随机点”。二维随机变量(X,Y)的分布函数在点(x,y)处的函数值F(x,y)就是随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点的左下方的无穷矩形区域(图3.1.1)内的概率。

图3.1.1

我们不加证明地给出分布函数F(x,y)如下的基本性质,但有些性质可通过几何意义直观理解。

①F(x,y)分别是x与y的单调不减函数,即当x1＜x2 时,F(x1,y)≤F(x2,y);当y1＜y2时,F(x,y1)≤F(x,y2)。

②0≤F(x,y)≤1,且F(-∞,y)=F(x,-∞)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1。

③F(x,y)分别关于x 和y 右连续,即F(x,y)=F(x+0,y)=F(x,y+0)。

④当x1＜x2,y1＜y2 时,有

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性质①的几何意义是明显的。当y 固定而x 增大或x 固定y 增大时,以(x,y)为顶点的“无穷矩形”域(图3.1.1)增大,从而随机点(X,Y)落在该域中的概率不会减少。

对性质②也可做类似的解释。若x→-∞,即x 无限左移,则随机点(X,Y)落在此域内这一事件趋于不可能事件,从而概率趋于0,即F(-∞,y)=0;同理F(x,-∞)=0,F(-∞,-∞)=0。当x→+∞,y→+∞时,此域趋于全平面,故随机点落于此域中的概率趋于1,即F(+∞,+∞)=1。

性质④中式子的几何意义如图3.1.2所示。

实际上,我们还有结果:若二元实函数F(x,y)满足如上4条性质,则F(x,y)一定是某一个二维随机变量的分布函数。

很显然,我们还关心当其中一个随机变量取某固定值时,另一个随机变量的分布,这就是条件分布问题。如当X=x 时,求Y 的分布函数,自然应考虑条件概率,但如果X 为连续型随机变量时没意义,因而用极限的思想给出如下定义。

图3.1.2

定义3.1.3 设随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)。对给定的x 及任意固定的正数ε,有P{x-ε＜X≤x+ε}＞0,且对于任意实数y,极限

存在,则称此极限为在X=x 下Y 的条件分布函数,记作P{Y≤y|X=x}或记作FY|X(y|x)。类似地,可定义在Y=y 下X 的条件分布函数FX|Y(x|y)。

由上可看出,联合分布函数完全可以确定边缘分布函数及条件分布函数,但需注意的是,只知道边缘分布函数或条件分布函数其中之一,无法确定联合分布函数。

例3.1.1供读者参考。

例3.1.1 设随机变量X 和Y 的联合分布函数为

求随机变量X 和Y 的分布函数FX(x)和FY(y)。

分析 随机变量X 和Y 的分布函数FX(x)和FY(y)是F(x,y)的边缘分布函数: