中国古代有一位足智多谋善于用兵的将领，名叫韩信。他辅佐刘邦，亡秦灭楚，完成西汉统一大业。有一道数学古题叫“韩信点兵”，便是借韩信的聪明才智出了一道难题。每当部队集合时，他只要求士兵1——3，1——5，1——7报数后，报告一下各次最后一个士兵的号数，便可知道部队出操人数和缺额。韩信点兵的奥秘在哪里?其中的数学原理是什么?
孙子问题的由来
类似“韩信点兵”这样的问题，在中国古代数学书中屡见不鲜。最早的记载是我国古代“算经十书”之一的《孙子算经》。
孙子是中国古代著名数学家之一，他姓孙，大家都尊称他为孙子，其生平事迹不详，但他与《孙子兵法》的作者、春秋末期的军事家孙武不是一人。
《孙子算经》一书，大约成书于公元1至3世纪。书中有不少有趣的题目，其第26题是：
“今有物，不知其数。三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何?”
这便是世界闻名的“孙子问题”。用现在的话说，这一问题就是：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合这些条件的最小数。
如果用现代代数方法来解，可设物品总数为x，根据题意列出方程：
其中h、m、n均为非负整数。
求适合条件的最小自然数x。
孙子问题颇有猜谜的趣味，解法也很巧妙，古代还有不少有趣的别名，如“鬼谷算”、“秦王暗点兵”、“隔墙算”等。
孙子问题的解法
孙子在他的《孙子算经》中给出这一问题的解法。由于当时代数学还未产生，没有用字母来代替数，其解法让人难以弄懂。到了明代，数学家程大位在其名著《算法统宗》一书中用一首诗歌概括了这种解法：(www.xing528.com)
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆月正半，除百零五便得知。
这种解法的大意是说，拿用3除所得余数乘上70，加上用5除所得余数乘上21，再加上用7除所得余数乘上15，结果如果比105多，便减去105的倍数，所得到的就是所求的数。列成算式就是：70×2＋21×3＋15×2－2×105＝23。
为什么要这样计算?原来，70是5和7的公倍数，而且被3除余1，所以2×70被3除就余2，并且能被5和7整除；21是3和7的公倍数，被5除余1，所以3×21被5除就余3，且能被3和7整除；15是3和5的公倍数，被7除余1，所以2×15被7除就余2，且能被3和5整除。因此，2×70＋3×21＋2×15＝233满足被3除余2，被5除余3，被7除余2。而3×5×7＝105，即105是3、5、7的最小公倍数，从233中减去105的倍数，自然不会影响所求数被3、5、7除所得的余数了。
南宋时期，出生于四川安岳的大数学家秦九韶，深入研究了“孙子问题”及其解法后，才从理论上给出了说明，定名为“大衍求一术”。在“大衍求一术”中，秦九韶给出了解类似“孙子问题”的一整套方法，完善了孙子开创的一次同余式组求解的方法和理论。“大衍求一术”写进了他的巨著《数书九章》之中。这部著作成书于1247年，内容丰富，精湛绝伦，特别是“大衍求一术”和高次方程的解法，在世界数学史上占有崇高的地位。
欧洲人命名的“中国剩余定理”
与“孙子问题”及“大衍求一术”相类似的问题在世界许多国家都陆续出现过，例如印度出现过“粉碎法”；13世纪意大利数学家斐波那契讨论一次同余问题，但没能给出一般解法。瑞士数学家欧拉和德国数学家高斯分别在1743年和1801年研究求解一次同余式，才获得与我国“大衍求一术”相同的结果。
1852年“大衍求一术”传入欧洲，人们发现“大衍求一术”和高斯的定理是一致的，而中国人的研究早了1000多年，于是欧洲人就将求解一次同余式称之为“中国剩余定理”或“孙子定理”。德国数学家康托称：发现大衍求一术的人是“最幸运的天才”。美国科学史家萨顿称赞秦九韶是“他那个民族、他那个时代，并且也是所有时代最伟大的数学家之一”。
“中国剩余定理”不仅完美地解决了“孙子问题”，而且提供了解决像开头提到的“韩信点兵”之类“剩余”问题的一般方法，更为重要的是，它揭示了其中本质的算法结构，为一次同余式组求解理论奠定了科学基础，可谓数学的一大发现。
所谓同余，是这样一个数学概念：若整数a、b同除以自然数m，所得的余数相同，就称a与b对于模m同余，记作a≡b(mod m)。此式称作同余式。同余式有许多性质，它是研究整除性等数论问题的重要工具。而一次同余式组又是现代数论的一个分支——不定分析的重要研究课题之一。
按照孙子发现的这套算法模式，任何一次同余式组问题都可以按步就班地获得解答，由此可见这一发现的重大意义。
“中国剩余定理”不仅在古代数学史上占有重要地位，其解法的数学原理在近代数学史上也占有重要地位，在现代电子计算机的设计中也有着重要作用。
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