混沌的理论：数学起源与庞加莱的思想

要弄明白不可预言性如何可以与确定论相调和,可以来看看一个比整个宇宙次要得多的系统——水龙头滴下的水滴。这是一个确定性系统,原则上流入水龙头中的水的流量是平稳、均匀的,水流出时发生的情况完全由流体运动定律规定。但一个简单而有效的实验证明,这一显然确定性的系统可以产生不可预言的行为。

这使我们产生某种数学的“横向思维”,它向我们解释了为什么此种怪事是可能的。

假如你很小心地打开水龙头,等上几秒钟,待流速稳定下来,通常会产生一系列规则的水滴,这些水滴以规则的节律、相同的时间间隔落下。很难找到比这更可预言的东西了。但假如你缓缓打开水龙头,使水流量增大,并调节水龙头,使一连串水滴以很不规则的方式滴落,这种滴落方式似乎是随机的。只要做几次实验就会成功。实验时均匀地转动水龙头,别把龙头开大到让水成了不间断的水流,你需要的是中速滴流。如果你调节得合适,就可以在好多分钟内听不出任何明显的模式出现。

1978年,加利福尼亚大学圣克鲁斯分校的一群年青的研究生组成了一个研究动力学系统的小组。他们开始考虑水滴系统的时候,就认识到它并不像表现出来的那样毫无规则。他们用话筒记录水滴的声音,分析每一滴水与下一滴水之间的间隔序列。他们所发现的是短期的可预言性。要是我告诉你3个相继水滴的滴落时刻,你会预言下一滴水何时落下。例如,假如水滴之间最近3个间隔是0.63秒、1.17秒和0.44秒,则你可以肯定下一滴水将在0.82秒后落下(这些数只是为了便于说明问题)。事实上,如果你精确地知道头3滴水的滴落时刻,你就可以预言系统的全部未来。

那么,拉普拉斯为什么错了?问题在于,我们永远不能精确地测量系统的初始状态。我们在任何物理系统中所作出的最精确的测量,对大约10位或12位小数来说是正确的。但拉普拉斯的陈述只有在我们使测量达到无限精度(即无限多位小数,当然那是办不到的)时才正确。在拉普拉斯时代,人们就已知道这一测量误差问题,但一般认为,只要作出初始测量,比如小数点后10位,所有相继的预言也将精确到小数点后10位。误差既不消失,也不放大。不幸的是,误差确实放大,这使我们不能把一系列短期预言串在一起,得到一个长期有效的预言。例如,假设我知道精确到小数点后10位的头3滴水的滴落时刻,那么我可以精确到小数点后9位预言下一滴的滴落时刻,再下一滴精确到8位,以此类推。误差在每一步将近放大10倍,于是我对进一步的小数位丧失信心。所以,向未来走10步,我对下一滴水的滴落时刻就一无所知了。(精确的位数可能不同:它可能使每6滴水失去1位小数的精度,但只要取60滴,同样的问题又会出现。)

这种误差放大是使拉普拉斯完全确定论破灭的逻辑缺陷。要完善整个测量根本做不到。假如我们能测量滴落时刻到小数点后100位,我们的预言到将来100滴(或用较为乐观的估计,600滴)时将失败。这种现象叫“对初始条件的敏感性”,或更非正式地叫“蝴蝶效应”(当东京的一只蝴蝶振翅时,可能导致一个月后佛罗里达的一场飓风)。它与行为的高度不规则性密切相关。任何真正规则的东西,据定义都是完全可预言的。但对初始条件的敏感性却使行为不可预言——从而不规则。因此,呈现对初始条件敏感性的系统被称为混沌系统。混沌行为满足确定性的定律,但它又如此不规则,以至在未受过训练的眼睛看来显得杂乱无章。混沌不仅仅是复杂的、无模式的行为,它要微妙得多。混沌是貌似复杂的、貌似无模式的行为,它实际上具有简单的、确定性的解释。

混沌的发现是由许多人(多得在此无法一一列举)作出的。它的出现,是由3个相互独立的进展汇合而成的。第一个是科学注重点的变化,从简单模式(如重复的循环)趋向更复杂的模式。第二个是计算机,它使得我们能够容易和迅速地找到动力学方程的近似解。第三个是关于动力学的数学新观点——几何观点而非数值观点。第一个进展提供了动力,第二个进展提供了技术,第三个进展则提供了认识。

动力学的几何化发端于大约100年前。法国数学家昂利·庞加莱(Henri Poincare)是一个独立独行的人(如果有的话),但他非常杰出,以致他的许多观点几乎一夜之间就成了正统的观点,当时他发明了相空间概念,这是一个虚构的数学空间,表示给定动力学系统所有可能的运动。为了举一个非力学的例子,让我们来考虑猎食生态系统的群体动力学。此系统中捕食者是猪,被捕食者是块菌(一种味道奇特、辛辣的真菌)。我们关注的变量是两个群体的规模——猪的数目和块菌的数目(两者都相对于某个参考值,如100万)。这一选择实际上使得两个变量连续,即取带小数位的实数值,而不取整数值。例如,假如猪的参考数目是100万,则17439头猪相当于值0.017439。现在,块菌的自然增长依赖于有多少块菌以及猪吃块菌的速率:猪的增长依赖于猪的头数以及猪吃的块菌数目。

于是每个变量的变化率都依赖于这两个变量,我们可把注意力转向群体动力学的微分方程组。我不把方程列出来,因为在这里关键不是方程,而是你用方程干什么。

这些方程原则上确定任何初始群体值将如何随时间而变化。例如,假使我们从17439头猪和788444株块菌开始,则你对猪变量引入初始值0.017439,对块菌变量引入初始值0.788444,方程会含蓄地告诉你这些数将如何变化。困难的是使这种含蓄变得清晰:求解方程。但在什么意义上求解方程呢?经典数学家的自然反应是寻找一个公式,这个公式精确地告诉我们猪头数和块菌株数在任何时刻将是多少。不幸的是,此种“显式解”太罕见,几乎不值得费力去寻找它们,除非方程具有很特殊的、受限制的形式。另一个办法是在计算机上求近似解,但那只能告诉我们这些特定韧始值将发生什么变化,以及我们最想知道的许多不同的初始值将发生什么变化。

庞加莱的思想是画一幅图,这幅图显示所有初始值所发生的情况。系统的状态——在某一时刻两个群体的规模——可以表示成平面上的点,用坐标的方法即可表示。例如,我们可能用横坐标代表猪头数,用纵坐标代表块菌株数。上述初始状态对应于横坐标是0.017439、纵坐标是0.788444的点。现在让时间流逝。坐标按照微分方程表达的规则从一个时刻变到下一个时刻,于是对应点运动。依动点划出一条曲线；那条曲线是整个系统未来状态的直观表述。事实上,通过观察这条曲线,不用搞清楚坐标的实际数值,你就可以“看出”重要的动力学特征。(www.xing528.com)

例如,如果这曲线闭合成环,则两个群体遵从周期性循环,不断重复同样一些值就像跑道上的赛车每一圈都经过同一个旁观者那样。假如曲线趋近某个特定点并停在那,则群体稳定到一个定态,它们在此都不发生变化——就像耗尽了燃料的赛车。由于幸运的巧合,循环和定态具有重要的生态意义——特别是,它们给群体规模设置了上限和下限。所以肉眼最易看出的这些特征确实是实际事物的特征。并且,许多不相关的细节可以被忽略——例如,不必描述其精确形状,我们就可以看出存在一种闭合环(它代表两个群体循环的合成“波形”)。

假如我们试一试一对不同的初始值,那将会发生什么情况?我们得到第二条曲线。每一对初始值定义一条新曲线。通过画出一整族的此种曲线,我们可以抓住所有初始值之下系统所有可能的行为。这族曲线类似于围绕平面盘旋的一种虚拟数学流体的流线。

我们称此平面为系统的相空间,那族盘旋曲线是系统的相图。取代具有各种初始条件的以符号为基础的微分方程概念,我们有了流经猪块菌空间的点的直观几何图象。这仅在其许多点是潜在点而非实际点而有别于普通平面:它们的坐标对应于在适当初始条件下可能出现,但在特定情况下可能不会出现的猪头数和块菌株数。所以,除了从符号到几何的心理转移,还存在从实际向潜在的哲理性的转移。

对于任何动力学系统,都可以设想同一种类型的几何图象。有相空间,其坐标是所有变量的值；有相图,即一族表示从所有可能的初始条件出发的所有可能行为的盘旋曲线,这些曲线为微分方程所刻划。这一思想是一大进展,因为我们无需关心微分方程解的精确数值,而可以把注意力集中于相图的宽广范围,使人发挥其最大优势(即惊人的图象处理能力)。作为把全部潜在行为编织起来的一种方式(自然界从中选择实际观察到的行为)的相空间图,在科学中已被广为应用。

庞加莱这一大创新所带来的结果,是动力学可借助被称为吸引子(attractor)的几何形状来加以直观化。假如你使一动力学系统从某个初始点出发,观察它长期运作的情况,你往往会发现,它最终围绕相空间中某个明确的形状游荡。例如,曲线可以向一个闭合环旋进,然后绕环永远兜圈子。而且,初始条件的不同选择会导致相同的终末形状。倘若如此,那形状就叫做吸引子。系统长期的动力学特性受其吸引子支配,吸引子的形状决定产生何种类型的动力学特性。

例如,趋向于定态的系统,它具有的吸引子是一个点。趋向于周期性地重复同样行为的系统,它具有的吸引子是一个闭环。也就是说,闭环吸引子相当于振荡器。请回忆一下第五章有关振动的小提琴弦的描述:小提琴弦经历一系列最终使它回归到出发点的运动,并将一遍又一遍重复那个系列。我的意思不是小提琴弦以物理环运动,但我对它的描述是隐喻意义上的闭环:运动经过相空间的动态地形而环游。

混沌有其自身颇为古怪的几何学意义,它与被称为奇异吸引子的离奇分形形状相联系。蝴蝶效应表明,奇异吸引子上的详细运动不可预先确定,但这并未改变它是吸引子这个事实。设想一下如果把一个木球抛进波涛汹涌的大海,无论你从空中向下丢球,还是从水下让球向上浮,球都会向海面运动。一旦到了海面之后,它就在起伏的波浪中经历一个很复杂的运动路径,但不管这路径多么复杂,球仍然留在海面上或至少很接近海面。在这一图景里,海面是吸引子。因此,尽管有混吨,不论出发点可能是什么,系统最终将很接近它的吸引子。

混沌作为一种数学现象已得到充分证实,但在现实世界里我们如何检测它呢?我们必须完成一些实验,但这存在一个问题。实验在科学中的传统作用是检验理论预言,但要是蝴蝶效应在起作用—正像它对任何混沌系统所做的那样——我们怎么能期望去检验一个预言?

莫非混沌天生不可检验,从而是不科学的?回答是,“不”!因为“预言”这个词有两个含义。一是指“预卜未来”。当混沌出现时,蝴蝶效应阻碍预卜未来。但另一个含义是“预先描述实验结果将是什么”。让我们来考虑一下如果掷100次硬币的例子。为了预言——在算命先生的意义上预卜——会发生什么情况,你必须预先列出每一次抛掷的结果。但你可以作出科学的预言,如“大约一半硬币将正面朝上”,而不必具体地预卜未来——甚至预言时,这系统仍然是随机的。没有人会因为统计学处理不可预言的事件而认为它不科学,因此以同样态度来对待混沌。你可以作出各种各样的关于混沌系统的预言。事实上,你可以作出充足的预言把确定性混沌与真正的随机性区分开。你能常常预言的一件事是吸引子的形状,它不受蝴蝶效应的影响。