刚体转动定律及其应用

牛顿第二定律描述了力是质点运动状态变化的原因，可使质点获得加速度.在刚体转动中，力矩是引起刚体转动状态变化的原因，使刚体获得了角加速度.这一过程的规律由下面的刚体转动定律来描述.

根据上述的刚体定轴转动定理，可以得出下式

以dt 除上式等号两边，得

或者写为

上式表明，在定轴转动过程中，刚体所获得的角加速度α 与合外力矩Mz 的大小成正比，与转动惯量成反比.这个关系称为刚体的定轴转动定律.

刚体的定轴转动定律和牛顿第二定律在数学形式上是相似的.合外力矩与合外力相对应，转动惯量与质量相对应，角加速度与线加速度相对应.在牛顿第二定律的讨论中已经知道，在相同外力作用下，质量较大的质点获得的加速度较小，即运动状态不容易改变，说明它的惯性较大；质量较小的质点获得的加速度较大，即运动状态容易改变，说明它的惯性较小.由转动定律也可以得出类似的结论：在相同外力矩作用下，转动惯量较大的刚体，获得的角加速度较小，即转动状态不容易改变， 说明它的转动惯性较大；转动惯量较小的刚体，获得的角加速度较大，即转动状态容易改变， 说明它的转动惯性较小.可见，转动惯量是量度刚体转动惯性大小的物理量.

例4.3　一不可伸长的轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为m/4，均匀分布在其边缘上.绳子的一端有一质量为m 的人A 抓住了绳端，而在绳的另一端系了一质量也为m 的重物B，如图4.5 所示.设人从静止开始相对于绳以匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求重物B 上升的加速度.（已知滑轮对过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量为J=mR2/4.）

解　由于轻绳与滑轮无相对滑动，对滑轮有力矩作用，因此两边轻绳的张力不相等.轻绳不可伸长使人和重物有大小相等的加速度，并与滑轮边缘点的切向加速度大小相等.

设人的加速度大小为a，方向向下，重物的加速度方向向上.设定滑轮的半径为R，以逆时针为转动的正方向，角加速度为α.两边轻绳的拉力大小分别为T1 和T2.人和重物的受力图、滑轮受力矩的隔离图如图4.5 所示，则对人、重物和滑轮分别有

图4.5　例4.3 用图

解上述方程可得　

例4.4　如图4.6 所示，一个转动惯量为2.5 kg·m2、直径为60 cm 的飞轮，正以130 rad/s的角速度旋转.现用闸瓦将其制动，如果闸瓦对飞轮的正压力为500 N，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.5.求：（1）从开始制动到停止，飞轮转过的角度；（2）闸瓦对飞轮施加的摩擦力矩所做的功.(www.xing528.com)

解　由图可知，飞轮的转轴垂直于纸面，角速度沿着转轴并指向读者.取角速度的方向为z 轴的正方向.闸瓦对飞轮施加的摩擦力为

方向如图4.6 所示.f 相对z 轴的摩擦力矩为

方向沿着z 轴的负方向，故取负值.根据转动定律，可以求得飞轮受到摩擦力矩作用时的角加速度为

图4.6　例4.4 用图

负号表示角加速度沿着z 轴的负方向.

（1）由于从开始制动到停止，飞轮做的是匀变速转动，所以飞轮转过的角度θ 满足下式

进而得

（2）闸瓦对飞轮施加的摩擦力矩所做的功为

亦可利用动能定理求解.