概率论与数理统计：事件间关系及运算

进行一个试验，有这样或那样的事件发生，它们各有不同的特性，彼此之间又有一定的联系.概率论要解决的重要问题之一，就是希望从比较简单的事件的概率推算出比较复杂的事件的概率.在实际生活中，往往要求我们同时考查几个在同样条件下的事件及它们之间的联系.详细地分析事件之间的关系，不仅可以帮助我们更深刻地认识事件的本质，而且可以大大简化一些较复杂事件的概率计算.

下面我们就来讨论事件间的关系和运算.

1.1.2.1 事件间的关系

在事件间的关系中，最重要的有三种：

（1）包含关系 如果事件B发生必然导致事件A发生，则称事件A包含事件B，或称事件B包含于事件A，记作A⊃B或B⊂A.

【例2】 从0，1，2，…，9这10个数字中任取一个，若令A表示“取得一数为4的倍数”，B表示“取得一数为偶数”，则显然有A⊂B.

A⊃B的一个等价说法是：如果事件A不发生则事件B必然不发生.

显然，对任一事件A，都有

Φ⊂A⊂Ω

（2）相等关系 如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，即A⊃B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记作A=B.也即事件A所包含的基本事件与事件B包含的基本事件相同.

（3）互斥关系 如果事件A与事件B不可能同时发生，则称事件A与事件B互斥，或称事件A与事件B互不相容.

例如，在从0，1，2，…，9中任取一个数字时，“取得一个数是2”与“取得一个数是5”是互斥事件.

显然，基本事件间是互斥的.

1.1.2.2 事件间的运算

事件间的运算有下面四种：

（1）事件的和 事件A与B中至少有一个发生，即“事件A发生或事件B发生”是一个事件，这个事件称为事件A与B的和（或并），记作A+B（或A∪B）.也就是说，和事件A+B是由事件A与事件B所包含的所有基本事件构成的集合.

【例3】 从0，1，2，…，9这10个数字中任取一个，令A表示“取出一数为偶数”，B表示“取出一数大于5”，则A+B表示“取出一数或者大于5，或者是偶数”，即等价于“取出一数为0，2，4，6，7，8，9中的一个数”.

（2）事件的积 事件A与B同时发生，即“事件A发生且事件B发生”是一个事件，这个事件称为事件A与B的积（或交），记作AB（或A∩B），即积事件AB是由事件A与事件B所包含的所有公共基本事件构成的集合.

如在例3中，事件A与B的积AB表示“取得一数为6或8”.

由事件积的定义，可得：

（i）对任一事件A，有AΩ=A，AΦ=Φ；

（ii）若A1，A2互斥，则A1A2=Φ.

（3）事件的差 “事件A发生且事件B不发生”是一个事件，这个事件称为事件A与B的差，记作A-B.

A-B是由事件A所包含的基本事件中去掉积事件AB所包含的基本事件后所有剩余基本事件构成的集合，故亦可用A-AB来表示.

如在例3中，A-B表示“取出一数为0，2，4中的一数”.

由事件差的定义可得：对任一事件A，有

A-A=Φ，A-Φ=A，A-Ω=Φ

下面，我们给出完备事件组的概念：

若事件A1，A2，…，An两两互斥，且

A1+A2+…+An=Ω

则称事件A1，A2，…，An构成一个完备事件组.

为了直观，我们还经常用图形来表示事件.如果以平面上的某一矩形表示基本事件空间Ω，矩形内的每一点表示一个基本事件，则事件的运算可通过平面上的几何图形表示.我们用两个小圆形表示事件A和B，阴影部分表示事件A与B的各种关系及运算，如图1.1表示事件A与B的关系，图1.2表示A与B间的各种运算.

图1.1

图1.2

根据集合论的知识可以看出，事件间的关系及运算与集合论中集合的关系及运算是完全相似的，而且这个相似在建立概率论的严格数学基础时非常重要.不过，我们应该注意另一点，就是要学会用概率论的语言来解释这些关系及运算，并且会用这些运算关系来表示一些事件.

下面我们把集合论与概率论中的一些术语对照列表如下：

表1-1

可以验证事件的运算满足如下关系：

（1）交换律 A∪B=B∪A A∩B=B∩A(www.xing528.com)

（2）结合律 A∪（B∪C）=（A∪B）∪C

A∩（B∩C）=（A∩B）∩C

（3）分配律 A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）

A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

（4）德莫根（De·Morgan）定理

【例4】 设A，B，C是三个随机事件，试用A，B，C表示下列事件：

（1）A，B，C中只有事件A发生；

（2）A，B，C中恰有一个发生；

（3）A，B，C中至少有一个发生；

（4）A，B，C都不发生；

（5）A，B，C不同时发生；

（6）A，B，C中至少有两个事件发生；

（7）A，B，C中恰有两个事件发生.

解 要正确表示事件，首先要准确理解所要表示的事件的意义及事件运算的定义.同一事件可以有不同的表示方式.

【例5】 甲、乙各射击一次，设事件A表示甲击中目标，事件B表示乙击中目标，那么

（1）甲、乙各射击一次，可以依次经过两个步骤：第一个步骤是甲射击，有击中目标与未击中目标两种可能；第二个步骤是乙射击，也有击中目标与未击中目标两种可能.根据乘法原理，每次试验的可能结果共有2×2=4个，即有4个基本事件：

AB 甲击中目标且乙击中目标（即两人都击中目标）

于是有关系式

（2）和事件AB +AB意味着甲击中目标乙未击中目标或甲未击中目标乙击中目标，因此它表示甲、乙两人恰好有一人击中目标，当然也表示甲、乙两人恰好有一人未击中目标，包含两个基本事件.

和事件A+B表示甲、乙两人中至少有一人击中目标，包括两人恰好有一人击中目标与两人都击中目标两类情况，包含3个基本事件，有关系式

（4）事件A不是基本事件，它表示甲击中目标，意味着甲击中目标乙击中目标或甲击中目标乙未击中目标，包含两个基本事件，有关系式

事件B也不是基本事件，它表示乙击中目标，意味着甲击中目标乙击中目标或甲未击中目标乙击中目标，包含两个基本事件，有关系式