平行线相交？魔鬼数学揭示大数据时代的数学思维力量！

平行线永不相交，这是平行线的基本特征。

但是，平行线有时似乎也会相交。想象一条铁道在一览无余的平地上向前延伸，你的视线也跟着向前移动，这时你会发现，随着距离地平线越来越近，那两根铁轨似乎逐渐融为一体（如果希望在头脑中形成一幅生动逼真的画面，我们可以一边听着乡村音乐一边想象，这样效果会更好），这就是“透视现象”（phenomenon of perspective）。我们的视野是二维的，如果我们希望在这个二维视野中描绘三维世界，那么有些东西必然会丢失。

最早发现这个现象的人是画家，他们不仅需要了解事物真实的形态及其在人们眼中的形态，还需要了解两者之间的不同之处。在意大利文艺复兴初期，画家知道了透视这个概念，视觉表现方式从此发生改变，欧洲的画作再也不像孩子们在冰箱门上的涂鸦之作，人们看一眼就知道他们画的是什么。

艺术史学家就菲利波·布鲁内莱斯基（Filippo Brunelleschi）等佛罗伦萨的艺术家到底是如何形成透视这种现代绘画理论的问题，进行过上百次争论。本书对这个问题就不再赘述了，我们现在可以确定的是，这个突破性进展使人们将数学与光学方面的新认识应用到对美的追求上。比如，人们意识到影像是光线照在物体上反射后进入人眼形成的。这一认知在现代人看来非常浅显，但当时的人却不是很清楚。以柏拉图为代表的众多古代科学家认为，视觉与发源于眼球的某种火焰有关，这个观点至少可以追溯至可罗顿的阿尔克迈翁（Alcmaeon），阿尔克迈翁是我们在第2章里讨论过的怪异的毕达哥拉斯的信徒之一。他认为眼睛肯定能发光，否则“光幻视”（phosphene）的光源是什么？所谓光幻视，就是闭上眼睛，然后用手挤压眼球，就能看到有金星闪现。详细地提出反射光视觉理论的人，是11世纪的开罗数学家海塞姆（Haytham）。海塞姆的光学著作《光学书》（Kitab al-Manazir）被翻译成拉丁语，并且很快就被希望更系统地了解视觉与所见物体之间关系的哲学家及艺术家奉为圭臬。该书的主要观点是，画布上的P代表三维空间中的直线。根据欧几里得的几何学原理，我们知道经过两个定点的直线只有一条。因此，P与眼睛之间可以形成一条直线，这条直线上的所有点在画中的位置就是P。

现在，假设你是布鲁内莱斯基，正站在开阔的大草原上，在眼前的画布上画那条铁道。铁道有两条铁轨，我们分别称之为R1和R2，每条铁轨呈现在画布上就是一条直线。画布上的点与空间中的直线相对应，同样，画布上的直线对应一个平面。与R1相对应的平面P1是由铁轨R1上所有点与眼睛的连线构成的。同样，与R2相对应的平面P2是眼睛与R2上各点的连线构成的。这两个平面与画布分别相交于一条直线，我们把这两条直线分别叫作L1和L2。

布鲁内莱斯基平面

两条铁轨相互平行，但那两个平面并不是平行平面，这是为什么呢？因为这两个平面在你的眼中相交，而平行平面是永远不会相交的。但是，不平行的平面必然相交，它们的交线是一条直线。在本例中，交线是一条水平线，从眼睛开始，沿着与铁轨平行的方向延伸。由于这条交线是水平的，因此不会与大草原相交，而是向着地平线延伸，但是永远不会与地面接触。好了，好戏就要上演了。这条交线与画布相交，交点为V。由于V位于平面P1上，因此必然位于P1与画布的交线L1上。由于V也位于P2上，因此必然位于L2上。换言之，V就是画作中铁轨在画布上的交点。事实上，大草原上所有与铁轨平行的直路在画布上看起来都像经过V的直线。V就是所谓的“消失点”（vanishing point），即与铁道平行的所有直线在画作中必然经过的点。每一对平行轨道都能在画布上形成某个消失点，消失点的位置取决于平行线的延伸方向。（唯一例外的是平行于画布的各对直线，例如铁轨之间的枕木，它们在画作中看上去仍然是相互平行的。）

布鲁内莱斯基在上述分析中完成的概念转换是射影几何学的核心内容。看到风景画中的点，我们就会想到通过我们眼睛的直线。乍一看，似乎仅仅是语义上的区别；地面上的各点可以而且只能形成一条通过该点与我们眼睛的直线，因此，我们想到的是点或者直线，会有什么不同呢？两者的区别就在于，通过我们眼睛的直线比地面上的点多，因为水平直线并不与地面相交。这些水平直线对应画布上的消失点，也就是铁轨相交的位置。你可能会把这样的直线看成沿铁道延伸方向的地面上一个无穷远的点，数学家把这样的点叫作“无穷远点”（point at infinity）。如果你把欧几里得几何学中的平面复制到无穷远点，就会得到“射影平面”（projective plane），参见下图。(www.xing528.com)

射影平面

大多数射影平面看上去与你熟悉的规整、平坦的平面非常相似，但是，射影平面上有很多无穷远点。每个无穷远点都代表平面中直线延伸的一个方向，上图中，P对应垂直方向，你应该把它看成沿纵轴向上无限延伸，同时还沿着该纵轴向下无限延伸。在射影平面中，纵轴的两端在无穷远点重合，因此，它表现为圆，而不是直线。同样，Q是位于东北方向（同时也位于西南方向）上的无穷远点，R是位于横轴末端的点，或者说是横轴两端的端点。如果向右移动无穷远的距离，到达R之后继续移动，此时你会发现你仍然在向右移动，但却是从画的左边向中心位置靠近。

从一个方向离开，却从相反方向回来，温斯顿·丘吉尔（Winston Churchill）年轻时曾对这个奇特的现象备感着迷，他回忆自己毕生在数学方面的唯一一次顿悟时说：

有一次，我突然对数学有了感觉，以前无法理解的难题在我面前迎刃而解。我看到一个数字在经过无穷点之后，符合由正号变成负号。我当时的感觉，就像人们看到金星凌日现象，甚至是伦敦市长就任时的游行盛况那样激动不已。我彻底明白了其中的道理，知道这种改变必然发生的原因。就跟从政一样，各个步骤之间存在某种必然的联系。不过，当时我已经吃过晚饭了，所以没有做进一步的研究。

事实上，R不仅是横轴的端点，还是所有水平直线的终点。如果两条不同的直线都是水平的，那么它们相互平行。但是，在射影几何学中，它们却会在无穷远点处相交。很多人认为《无尽的玩笑》一书的结尾非常突兀，因此，1996年，有人在采访华莱士时问他，他是不是因为“在写这本书时感到厌烦了”，所以不想写结尾？华莱士有点儿不耐烦地说：“我认为这本书是有结尾的。平行线都有可能趋于相交，因此，读者可以在正常框架之外设计一个‘结尾’。如果你想不到这种趋于相交的现象，也不会设计结尾，那么对你来说，这本书就是一部失败的作品。”

射影平面有用绘图方式难以表现的缺陷，但是也有让人们更乐于接受几何学原理的优点。在欧几里得几何学的平面中，两个不同的点可以确定唯一的直线，两条不同的直线可以产生唯一的交点，但是这两条直线不能是平行线，否则它们不会相交。在数学上，我们愿意接受各种规则，不喜欢例外情况。在射影平面上，我们可以认为两条直线相交于一点，而不需要考虑任何例外情况，因为平行线也会相交。例如，任意两条垂直线都会相交于P，而任意两条从东北向西南方向延伸的直线都会相交于Q。两个点确定一条直线，两条直线确定一个相交点，无须任何附加条件。经典平面几何学不可能有这样完美的对称性，也不可能这样简练。在人们尝试解决利用画布描绘三维世界这个实际问题的过程中，射影几何学应运而生，这并不是一种巧合。历史反复证明，数学的简洁与实际效用紧密相关。有时，科学家发现了某个理论，就把它交给数学家，让后者研究这个理论为什么如此简洁；还有些时候，数学家建立了某个简洁的理论，然后交由科学家研究该理论的实际价值。

射影平面的一个好处是促生了具象绘画，还有一个好处是选对彩票号码。