1．已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜a×b｜＝
，则a·b＝_________．
解 由叉积的定义
于是
因此
a·b＝｜a｜｜b｜cos（a，b）＝±1
2．设a＋b＋c＝0，且｜a｜＝3，｜b｜＝1，｜c｜＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝_________．
解 因为（a＋b＋c）·（a＋b＋c）＝0，即
｜a｜2＋｜b｜2＋｜c｜2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝0
于是，得a·b＋b·c＋c·a＝－7．
3．设｜a｜＝3，｜b｜＝4，｜c｜＝5，a＋b＋c＝0，则｜a×b＋b×c＋c×a｜＝_________．
解 因为
a×b＋b×c＋c×a＝a×b＋（a＋b）×b＋a×（a＋b）＝3（a×b）
所以
4．若a∥b，b＝｛3，4，1｝，又向量a在x轴上的投影为－2，则a＝________．
解 由a∥b得a＝λb＝｛3λ，4λ，λ｝．又a在x轴上的投影ax＝3λ＝－2，所以λ＝－
，因此有a＝
5．已知A（1，2，0），B（3，0，－3），C（5，2，6），则△ABC的面积S＝________．
解 由向量积的几何意义，得
6．设向量
与单位向量i，j的夹角分别为
，且
在z 轴上的投影为－8，则点M 的坐标为________．
解 设M（x，y，z），则
＝｛x，y，z｝，其中z＝－8，由
解得x＝8，y＝8
，从而得M 点的坐标为（8，8 
，－8）．
7．已知向量a＝｛－1，3，0｝，b＝｛3，1，0｝，｜c｜＝r，且a＝b×c，则r的最小值为________．
解 因为
｜a｜＝｜b×c｜＝｜b｜｜c｜sin（b，c）
所以r＝｜c｜＝
．因此可知，当sin（b，c）＝1 时，r取最小值1．
8．设向量a＝i，b＝j－k，c＝i－j，则与a，b共面且垂直于c的单位向量为_________．
解 由题意可得
（xi＋y（j－k））·（i－j）＝0
即x－y＝0，得x＝y．
为了使x（i＋j－k）成为单位向量，x＝±
，所求单位向量为±
（i＋j－k）．
解 由cosθ＝cos（a，b）＝
得夹角θ＝
，因此
｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sinθ＝2
10．已知向量a＝｛1，2，3｝，b＝｛1，1，0｝，如果存在非负实数β使向量a＋βb与a－βb 垂直，则β＝________．
解 因为a＝｛1，2，3｝，b＝｛1，1，0｝，所以
a＋βb＝（1＋β，2＋β，3）， a－βb＝（1－β，2－β，3）
又因为（a＋βb）⊥（a－βb），所以（1＋β，2＋β，3）·（1－β，2－β，3）＝0，得β＝
11．直线
的夹角θ＝________．
解 因为直线L1的方向向量为a1＝｛1，－2，1｝，直线L2的方向向量为
a2＝｛1，－1，0｝×｛0，2，1｝＝｛－1，－1，2｝
所以cosθ＝cos（a1，a2）＝
，夹角θ＝
12．原点O（0，0，0）到点A（1，1，1），B（2，－1，0），C（0，2，1）所在平面的距离为_________．
解 设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，于是
故所求平面方程为x＋y－z－1＝0，所求距离为d＝
13．直线x－1＝y＝－z＋1在平面x－y＋2z－1＝0上的投影方程为_________．
解 先求直线x－1＝y＝－z＋1与平面x－y＋2z－1＝0的交点A（2，1，0）．过直线上的点（1，0，1）作平面x－y＋2z－1＝0的垂线，其方程为x－1＝－y＝
，它与平面的交点为B
．直线AB 的方程
＝－z即为所求投影方程．
14．直线L1
共面的充要条件为________．
解 设P1（a1，b1，c1），s1＝｛l1，m1，n1｝，P2（a2，b2，c2），s2＝｛l2，m2，n2｝，则L1与L2共面的充要条件是三个向量
共面，即混合积
15．点（1，2，3）到直线
的距离为________．(www.xing528.com)
解 因为
所以
16．已知直线2x＝3y＝z－1平行于平面4x＋λy＋z＝0，则λ＝_________．
解 直线的方向向量为
，平面的法向量为（4，λ，1）．
由题设知
⊥（4，λ，1），即
·4＋
·λ＋1·1＝0，解得λ＝－9．
17．一平面过原点与两直线L1：
均平行，则此平面方程为_________．
解 取平面的法向量n＝｛1，2，1｝×｛0，1，1｝＝｛1，－1，1｝，及O（0，0，0），利用点法式即得所求平面方程为x－y＋z＝0．
18．一平面过点P1（1，0，2）与P2（6，－3，2）且与直线L：
平行，则此平面方程为_________．
解 设s＝｛4，－1，2｝，取所求平面Π 的法向量
利用点法式方程得Π：6x＋10y－7z＋8＝0．
19．过点（1，0，－2）且与平面Π1：x－4z＝3及平面Π2：3x－y－5z＝1的交线平行的直线方程是________．
解 取所求直线的方向向量
s＝｛1，0，－4｝×｛3，－1，－5｝＝｛－4，－7，－1｝
由直线的标准方程得所求直线方程为
20．要使直线L：
在平面Π：3x＋4y－az＝3a－1内，则a＝_________．
解 设s＝｛3，－2，a｝，n＝｛3，4，－a｝，则由s·n＝0得a＝±1；再由L上一点（a，0，－1）在Π上，应满足Π的方程，得a＝－1．
21．当λ＝________时，直线
相交．
解 设P1（－2，0，1），s1＝｛2，－3，4｝，P2（3，1，7），s2＝｛λ，4，2｝，则L1与L2相交的充要条件是
，s1，s2共面且s1与s2不平行，即
22．平面x＋y＋2z＋1＝0与平面2x－y＋z＋3＝0的夹角为_________．
解 所求夹角即为平面的法向量｛1，1，2｝与｛2，－1，1｝的夹角α，因
故α＝
23．曲线
绕y轴旋转所得旋转曲面的方程为_________．
解 应填z2＋x2－1＝2y．
24．过曲线C
且母线平行于z轴的柱面方程是_________，曲线C 在xOy 坐标面上的投影曲线方程为_________．
解 曲线C 中的方程消去z 得母线平行于z 轴的柱面方程x2＋y2＝1，此柱面方程与平面z＝0联立即得投影曲线的方程为
25．yOz 坐标面上的直线
绕y 轴旋转而成的旋转曲面方程为_________．
解 应填
（x2＋z2）＝
（y－2）2．
26．过点（0，1，2）且与直线
垂直相交的直线的方程是_________．
解 过点（0，1，2）且与直线
垂直的平面方程为x－y＋2z－3＝0，直线
与平面x－y＋2z－3＝0的交点为
所以直线方程为
27．过直线
的平面为_________．
解 这是两条平行直线，在L1上取一点M（2，0，－1），在L2上取一点N（3，0，－2），作向量
＝｛1，0，－1｝，将它与L2的方向向量｛－2，3，4｝作向量积，即可得所求平面的法向量
再注意到直线L2上的点（3，0，－2）必在所求平面上，利用平面的点法式方程可得
3（x－3）－2y＋3（z＋2）＝0
经化简整理得
3x－2y＋3z－3＝0
28．两直线
的距离为_________．
解 这是两条平行直线，在一直线上任取一点，则该点到另一条直线的距离即为该两条平行直线的距离．现在两条直线上各取一点A（0，0，0），B（1，2，1），作向量
＝｛1，2，1｝，方向向量为τ＝｛1，2，－2｝，则两条直线间的距离为
29．过点（－1，2，3）垂直于直线L：
且平行于平面Σ：7x＋8y＋9z＋10＝0的直线为________．
解 本题的关键是求出所要求的直线的方向向量，由题设知，该方向向量应同时垂直于已知直线L 的方向向量｛2，5，6｝和平面Σ 的法向量｛7，8，9｝，因此该方向向量可取向量｛2，5，6｝与向量｛7，8，9｝的向量积，即
因此所求直线的标准方程为
30．曲线L：
在xOy 平面上的投影曲线L1的方程为_________，L1绕x 轴旋转一周所得旋转曲面Σ 的方程为________．
解 将z＝2x＋1代入方程x2＋y2－z＋1＝0得x2＋y2－2x＝0，此为曲线L 向xOy 平面投影的投影柱面方程，L1的方程为
L1绕x轴旋转一周所得旋转曲面Σ 的方程为x2＋y2＋z2－2x＝0．
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