1.设级数un的部分和数列Sn=(n=1,2,…),则级数的一般项un=________.
解 u1=S1=1,n≥2时un=Sn-Sn-1=且当n=1时也成立,故对所有n∈N*,有un=
2.幂级数的收敛半径R=________.
分析 该幂级数是缺项的幂级数(不含x的偶数次幂),因此不能直接利用公式求收敛半径R.
解法一 把该幂级数看成是一般的函数项级数un(x),其中
由
知,当<1,即|x|<2时,级数绝对收敛;当>1,即|x|>2时,级数发散.所以,该幂级数的收敛半径R=2.
解法二 把幂级数改写为
令y=x2,考虑幂级数,因为
所以,当|y|<4,即|x|<2时,原幂级数绝对收敛;当|y|>4,即|x|>2时,原幂级数发散.所以,原幂级数的收敛半径R=2.
3.若级数条件收敛,则幂级数nan(x-1)n的收敛区间为_________.
解 幂级数在x=1处显然收敛,所以其收敛半径R≥1.若R>1,应用阿贝尔定理,可得幂级数在x=1处绝对收敛,此与条件矛盾,所以R=1,幂级数的收敛区间为(-1,1),因此幂级数an(x-1)n的收敛区间为(0,2).由于幂级数逐项求导后收敛半径不变,所以幂级数nan(x-1)n-1的收敛区间是(0,2),因此
的收敛区间也是(0,2).
4.若幂级数在x=2处条件收敛,则幂级数(x-1)2n的收敛半径R=_________.
解 由于anxn的收敛半径为2,于是对于幂级数(x-1)2n而言,当<2时,级数收敛,当>2时,级数发散,故(x-1)2n的收敛半径R=
5.设幂级数的收敛半径为3,则幂级数nan(x-1)n-1的收敛区间为_________.
解 因为幂级数anxn的收敛半径为3,所以幂级数an(x-1)n的收敛半径也为3.由于幂级数在其收敛区间内可以逐项求导,且逐项求导后的幂级数收敛半径不变,故幂级数nan(x-1)n-1=(an(x-1)n)′的收敛半径仍为3,从而由|x-1|<3得所求的收敛区间为(-2,4).
6.把函数(ab ≠0)展开成x 的幂级数,其收敛半径R=_________.
解 因为
由<1,即|x|<,所以收敛半径R=
7.幂级数的收敛域为_________.
解 该幂级数的收敛半径R=时,原级数化为调和级数,故发散;当x=-时,原级数化为交错项级数(-1)n,满足Leibniz判敛法的条件,收敛.故原级数的收敛域为
8.幂级数(-1)n的收敛域为________.
解 该幂级数的收敛半径为
当x=-2时,原级数为,发散;当x=2时,原级数为
满足Leibniz判敛法的条件,收敛.故原级数的收敛域为(-2,2].
9.幂级数(x-1)n的收敛域是________.
解 由于=0,且是单减数列,由Leibniz判别法得知,收敛.又发散,因此当2|x-1|<1,即|x-1|<时,级数收敛,且当x=时,级数收敛,当x=时,级数发散.所以幂级数的收敛域为
10.当常数p满足条件________时,级数绝对收敛.
解 由
知=1,而当且仅当p+>1,即p>时收敛,所以由比较判敛法的极限形式及绝对收敛的定义,知p>时原级数绝对收敛.(www.xing528.com)
11.级数的和等于________.
解法一 因为
设S(x)=,x∈[-1,1),则
于是,所求数项级数的和为2S=2ln2-1.
解法二 由于ln(1-x)=-,x∈[-1,1),所以
从而
12.级数的和等于________.
解 因为
由ex=,x∈(-∞,+∞)及ln(1+x)=,x∈(-1,1]得
从而原级数的和等于2e+ln2.
13.用sinx ≈x-x3+…+计算sin18°,使其误差|R|<10-4,取n=_________为宜.
解 由交错级数的Leibniz判别法知,余项
以(18°=弧度)代替x,有|R2n-1|≤.若取n=2,则误差
所以应取n=2.
14.函数f(x)=ln(1-x-2x2)关于x 的幂级数展开式中,x3的系数是_________.
解 因为f(x)=ln(1-x-2x2)=ln(1+x)+ln(1-2x),而
故所求系数是(-1)3-1
15.将f(x)=1-|x|在区间[-1,1]上展开成以2为周期的余弦级数
则其中系数a3的值为_________.
解 f(x)=1-|x|为偶函数,由Euler-Fourier公式得
16.设f(x)=x2(0≤x≤π),而S(x)=sinnx,其中
则S(-)=________,S(π)=________.
解 题意是将定义在[0,π]上的函数f(x)奇延拓成(-π,π]上的函数F(x),再将F(x)以2π为周期作周期延拓后展开成Fourier级数,即可将f(x)展开成正弦级数.由Dirichlet收敛定理,知
17.已知函数
若S(x)为f(x)的以2π为周期的Fourier级数的和函数,则在区间[-π,π]上S(x)的表达式为_________.
解 由Dirichlet收敛定理,可知当-π<x<0及0<x<π时,S(x)=f(x),则
综上知
18.将函数f(x)=1+sinx(0≤x≤π)展开为以2π为周期的正弦级数,S(x)为该正弦级数的和函数,则S( -)=________,S(3π)=________.
解 由Fourier级数的Dirichlet收敛定理,可得
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