高等数学试题分析(2017)练习题答案

1．交换积分次序：

2．计算二重积分dxdy，其中D＝｛（x，y）｜｜x｜＋｜y｜≤1｝．

3．计算二重积分：

（1）dxdy，其中D 是由直线y＝x，x＝3及双曲线xy＝1所围成的区域；

（2）

4．计算二次积分

5．计算积分（x2＋y2＋z2）dz．

6．计算二重积分f（x）dx，其中

7．计算二重积分dxdy，其中积分区域D 由直线y＝x，y＝－x 及曲线y＝1＋所围成．

8．计算二重积分

9．计算二重积分

10．计算dA，其中区域D＝｛（x，y）≥0，x2＋y2≥1，x2＋y2≤2x｝．

11．计算二重积分dA，其中D 为由y＝x，y＝x及y＝2所围成的区域．

12．计算二重积分dxdy，其中D 是由x＝0与x＝（a＞0）所围成的区域．

13．计算二重积分dxdy，其中D＝｛（x，y）｜0≤x≤

14．计算二重积分dxdy，其中D＝｛（x，y）｜2y≤x2＋y2≤4y｝．

15．计算二重积分dA，其中D＝｛（x，y）｜x2＋y2≤1，x＋y≥1｝．

16．计算dxdy，其中D＝｛（x，y）｜x2＋y2≤1，x≥0｝．

17．已知函数f（x）连续，且满足xf（x）dx，设D：x＋y≤1，x≥0，y≥0，计算

18．设Ω是由曲面z＝x2＋y2与平面z＝2y 所围成的区域，试将三重积分化为：（1）直角坐标系下的累次积分；（2）柱坐标系下的累次积分，并求积分值．

19．计算三重积分，其中Ω是由曲面z＝x2＋y2与z＝2x所围成的区域．

20．设有空间区域Ω：x2＋y2＋z2≤R2，计算

21．计算三重积分dxdydz，其中Ω是由抛物面与半球面z＝所围成的区域．

22．计算dV，其中Ω：x2＋y2＋z2≤2z．

23．设Ω＝｛（x，y，z）｜x2＋y2＋z2≤1｝，a2＋b2＋c2≠0，计算＋cz）4dxdydz．

24．计算三重积分dV，其中Ω是yOz 平面上的直线z＝2y－1，y＝以及z＝1围成的平面有界区域绕z轴旋转一周得到的空间区域．

25．计算三重积分，其中Ω是由旋转抛物面x2＋y2＝z与平面z＝1和z＝4围成的空间闭区域．

26．设曲线C 为圆周x2＋y2＝1，计算曲线积分

27．计算其中L 是曲面x2＋y2＋z2＝9与平面z＝的交线．

28．计算第一型曲线积分其中L 为曲线

x＝a（cost＋tsint），　y＝a（sint－tcost）　（0≤t≤2π）

29．计算曲线积分其中C为上半圆周x2＋y2＝4x，y≥0，方向由点A（4，0）至点O（0，0）．

30．设L 是以A（1，0），B（0，1），C（－1，0），D（0，－1）为顶点的正方形依逆时针方向的边界，计算曲线积分

31．设C 是从B（0，2）经A（1，－1）到O（0，0）的有向折线，计算曲线积分

32．计算曲线积分

其中C 为折线OAB，且O（0，0），A（1，1），B（2，0）．

33．计算曲线积分

其中C 为摆线（a＞0）从t＝0到t＝2π的一段．

34．计算第二型曲线积分

其中L 是柱面x2＋y2＝a2与平面＝1（a＞0，b＞0）的交线，若从z轴的正向看去，L 取逆时针方向．

35．计算曲线积分

其中C 是从点A（－2，1）沿曲线y＝－cos到点B（2，1）的一段．

36．计算曲线积分

其中Γ 是曲线y＝＋1上从点A（1，2）到点C（0，1）的部分．

37．计算

其中C 是由点B（1＋π，0）沿曲线y＝sin（x－1）到点A（1，0）的一段弧．

38．计算

其中C 为曲线x＝，取沿y 增大的方向．

39．计算曲线积分，其中：

（1）C 为圆周x2＋y2－2y＝0，取逆时针方向；

（2）C 为椭圆周4x2＋y2－8x＝0，取逆时针方向．

40．计算

其中L是由极坐标方程ρ＝2－sinφ所表示的曲线上从φ＝0到φ＝的一段弧．

41．设C 是圆周x2＋y2＝x＋y，取逆时针方向，连续函数f（x）＞0，证明：

42．计算曲面积分dA，其中Σ 为球面x2＋y2＋z2＝3．

43．计算曲面积分dA，其中Σ 为上半球面z＝含在圆柱面x2＋y2－Ry＝0（R>0）内的部分．(www.xing528.com)

44．计算曲面积分其中Σ 是由z＝0，z＝1与z2＋1＝x2＋y2所围成的立体的表面．

45．计算其中Σ是柱面x2＋y2＝2ay（a＞0）被锥面z＝和平面z＝2a所截下的部分．

46．计算曲面积分其中Σ是球面x2＋y2＋z2＝R2夹在两平面z＝与z＝h（0＜h＜R）之间的部分．

47．设曲面Σ 为以A（1，0，0），B，C（0，0，1）为顶点的三角形，取上侧，计算曲面积分∧dz＋ydz∧dx＋zdx ∧dy．

48．计算曲面积分

其中Σ 为曲面z＝位于0≤z≤H 部分的下侧．

49．计算曲面积分

其中Σ 为曲面z＝1－x2－y2（－3≤z≤1）的上侧．

50．计算第二型曲面积分

其中Σ：z＝4－x2－y2（0≤z≤4），取下侧．

51．计算曲面积分

其中Σ 是曲面z＝1＋x2＋y2被平面z＝3所截下的部分，取下侧．

52．计算曲面积分

其中Σ 为柱面x2＋y2＝1被两平面z＝0，z＝1所截部分的外侧．

53．计算曲面积分

其中Σ 为半球面z＝的上侧．

54．计算

其中Σ 为圆柱面x2＋y2＝4被平面x＋z＝2和z＝0所截部分的外侧．

55．计算

其中Σ 为z＝2－被z＝0 所截的部分，取上侧．

56．计算

其中Σ 为圆柱体y2＋z2≤R2，｜x｜≤R（R>0）的表面，取外侧．

57．设函数f（x，y）在区域D：x2＋y2≤1上有一阶连续偏导数，并且在圆周C：x2＋y2＝1上有f（x，y）＝0，试证：

58．计算

其中a为大于0的常数，Σ 为z＝－的上侧．

59．计算第二型曲面积分：

其中，f（x，y，z）为连续函数；S是曲面z＝（x2＋y2）介于平面z＝2与z＝8之间的部分，取上侧．

60．求曲面z＝x2＋y2与z＝2－所围成的立体的表面积．

61．求曲面x2＋y2＝2az与z＝所围成的立体的体积．

62．求锥面z＝被球面x2＋y2＋z2＝2ax 所截下部分的面积．

63．设Ω＝｛（x，y，z）｜x2＋y2＋z2≤2z，z≥密度为常数μ，求Ω的质心．

64．求密度均匀分布的立体

Ω＝，x2＋y2＋z2≤2z，z≥的质心坐标．

65．设曲线段L：y＝x2（0≤x≤1）上任意一点（x，y）处的线密度函数μ＝12x，求该曲线段的质量．

66．求由曲面x2＋z＝1，y2＋z＝1和z＝0所围成的质量均匀分布的立体的质心坐标．

67．设一质点在力场F＝yzi＋zxj＋xyk 的作用下，自原点沿直线运动到球面x2＋y2＋z2＝1上一点M（ξ，η，ζ）处．

（1）求在此运动过程中力场F 所做的功W；

（2）当ξ，η，ζ（ξ＞0，η＞0，ζ＞0）取何值时，功W 为最大？

68．流速为v＝x3i＋y2j＋z4k的液体流过曲面

所围成的立体，今有平行于xOz平面的平面截此立体，问沿y轴正方向通过哪个截面的流量最大？

69．已知流体的流速函数v（x，y，z）＝｛y3－z3，z3－x3，2z3｝，求该流体流过由上半球面z＝1＋与锥面z＝所围立体表面的外侧的流量．

70．设球体x2＋y2＋z2≤2Rz 内各点处的密度等于该点到原点距离的平方，试求这球体的质心．

71．设在xOy 平面上有薄板

其面密度为μ＝，求此薄板的质心坐标．

72．设立体Ω由曲面z＝x2＋y2及平面z＝4围成，密度ρ＝1，求它对z轴的转动惯量．

73．设函数u（x，y，z）表示原点到椭球面

上任一点P（x，y，z）的切平面Π 的距离，求

74．计算函数u＝x2y3z4在（1，1，1）的梯度．

76．求向量场A＝（2x＋y）i＋（4y＋x＋2z）j＋（2y－z）k的势函数．

77．试求连续可微函数φ（x），使在右半平面内曲线积分

与路径无关，其中＝2；且A＝（1，0），B＝（π，π）时，求该曲线积分的值．

78．设函数f ∈C（［0，1］），且0≤f（x）＜1，利用二重积分证明不等式

79．设函数f（x）在区间［a，b］上连续，且f（x）＞＝A，试证：