概率论与数理统计（第5版）：概率的公理化定义

前面分别介绍了概率的统计定义、古典概型、几何概率，它们在解决各自相适应的问题中都起着很重要的作用．但它们都有一定的局限性，概率的统计定义——统计概率，是用频率的稳定值，它建立在大量试验的基础上，有时难以实现．即使能够进行大量试验，由于频率具有波动性，它在什么意义下趋近于概率等都没有确切的说明．古典概型要求试验的样本空间是有限集合，且每个样本点在一次试验中出现的可能性相等．几何概率虽然把样本空间扩展到无限集合，但仍然保留样本点的等可能性的要求．很多问题经常不能满足这些要求，这些不足妨碍了概率论自身的发展，也使概率论作为数学分支的科学性受到怀疑．1933年，著名的俄国数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）在前人工作的基础上，提出了概率的公理化定义，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展作出了巨大的贡献．

定义1．2．5（概率的公理化定义）设E是随机试验，Ω是它的样本空间．若对于试验E的每一个事件A，都有一个实数P（A）与之对应，并且满足下列3个公理，则称P（A）为事件A的概率．

（1）非负性　对于任意一个事件A，有P（A）≥0；

（2）规范性　对于必然事件Ω，有P（Ω）＝1；

（3）可列可加性　对于可列个两两互不相容的事件A 1，A 2，…，有

根据概率的公理化定义，可以推导出概率的一些重要性质．

性质1．2．1　P（∅）＝0．

证明　令An＝∅（n＝1，2，…），则，且AiA j＝∅，i≠j（i，j＝1，2，…）．根据概率的可列可加性，得

根据概率的非负性，知道P（∅）≥0，因此，P（∅）＝0．

性质1．2．2（有限可加性）若A 1，A 2，…，An是两两互不相容的事件，则有

即，有限个两两互不相容事件的和事件的概率等于每个事件概率的和．

证明　令An＋1＝An＋2＝…＝∅，则有AiA j＝∅，i≠j（i，j＝1，2，…）．根据概率的可列可加性和性质1．2．1，得

性质1．2．3（减法公式和概率的单调性）设A，B是两个事件，若A⊂B，则有（1）P（B-A）＝P（B）-P（A）；（2）P（A）≤P（B）．

证明　（1）由A⊂B知道B＝A∪（B-A），且A（B-A）＝∅，根据概率的有限可加性，得P（B）＝P（A）＋P（B-A），所以，P（B-A）＝P（B）-P（A）．

（2）根据概率的非负性，知道P（B-A）≥0，再根据（1）的结果，可得P（A）≤P（B）．(www.xing528.com)

注　（1）若A⊂B，则P（B-A）＝P（B）-P（A），称为减法公式（后面还有“加法公式”）．

（2）若A⊂B，则P（A）≤P（B），称为概率的单调性．

性质1．2．4　对于任意一个事件A，有P（A）≤1．

证明　由于A⊂Ω，根据概率的单调性，得P（A）≤P（Ω）＝1．

性质1．2．5（对立事件的概率）对于任意一个事件A，有

证明　由于A∪＝Ω，A＝∅，根据概率的有限可加性，得1＝P（Ω）＝P（A∪）＝P（A）＋P（），所以，P（）＝1-P（A）．

性质1．2．6（加法公式）对于任意两个事件A，B，有

证明　由于A∪B＝A∪（B-AB），且A（B-AB）＝∅，AB⊂B，根据概率的有限可加性和减法公式，得

性质1．2．6可以推广到多个事件的情形．

设A 1，A 2，A 3是任意3个事件，则有

一般地，对于任意n个事件A 1，A 2，…，An（n≥2），有

例1．2．7　设A，B是互不相容的事件，已知P（A）＝0．4，P（B）＝0．5，求

解　）＝1-P（A）＝1-0．4＝0．6．由于A，B互不相容，即AB＝∅，于是