数学建模教学改革：APOS理论驱动的高职阶段分析

在全国大学生数学建模竞赛活动的推动下，数学建模课程受到越来越多的重视，由于数学建模的过程具有开放性和灵活性等特点，充分调动学生自主学习、探索的能力，为学生在应用数学中理论结合实际提高可能性，最终实现对人才培养的目标，发展学生主动性与创造性。因此，随着高职数学教学的不断改革，数学建模在高职教育中也得到不断地推广，结合高职学生的学习特点，以下是结合APOS理论对高职数学建模教学的阶段性分析：

（1）初级建模阶段

在初级建模阶段，应让学生首先了解数学建模到底是怎么回事，了解数学理论是可以应用到实际生活中解决一定问题，激发学生的自信心，增强学生学习兴趣，逐步培养学生的建模能力水平与思维水平。

因此，在此阶段，应首先让学生接触最基本、难度较低的建模内容，教师结合数学建模的含义、基本的方法和建模步骤进行讲解，让学生建立整体的过程概念与目标，这样，一方面是建模数学课程与建模课程之间的衔接，另一方面，有利于对学生进行数学建模思想的逐步渗透。例如线性规划方法的介绍。

例1　某工厂生产甲、乙两种产品，每件产品的利润、所消耗的材料、工时及每周的材料限额和工时限额见下表，另外市场对甲种产品的最大需求量是4件。问如何安排生产，使每周获得的利润最大？

表3-1　甲乙两种产品的利润、材料以及工时限额

例2　假设某种物资有m个销地，n个销地，ai表示第i个产地，i=1，2，…，m；bj表示第i个销地，j=1，2，…，n；从产地i运往销地j的单位运价为cij.问如何安排运输，使得总运费最小。

以上例子都是简单的优化问题，首先需要让学生了解优化问题在公共管理、经济管理、工程管理、国防等各个领域，都具有非常重要的作用，而对于生产计划安排问题以及简单的运输问题都是基本的优化问题。其次，让学生接触计算机软件相关知识，简单熟悉利用软件程序如何实现对简单问题的求解过程，由于在高职学生当中，大多未接触过软件程序的实现方法，例如MATLAB软件编程，因此，一方面，在初级建模过程中，首先让学生有整体的建模思路与完整的建模过程，另一方面，让学生对了解简单软件实现过程。

（2）典型案例建模过程(www.xing528.com)

在学生知道数学知识确实是可以与实践相结合的，在接下来的阶段中，就是要让学生能够掌握在什么样的条件下利用什么样的数学知识可以建立数学模型，其实本质上是对现实问题与数学理论之间相互翻译、相互辨识的过程，例如，利用微分建立传染病模型，人口预测和控制模型，利用级数建立服药问题模型；利用概率统计建立随即人口模型等。

在这一阶段中，教师选择的题目应更具有建模的特点，但是应把握题目的难度，不能太过于强调难度，要了解学生的认知水平与知识水平，重点放在问题的设计上，尽量与学生熟悉的专业领域相结合，引导学生建立相应的问题模型，鼓励学生相互交流思考建模方法。

例3　为研究大气污染物一氧化氮（NO）的浓度是否受到汽车流量、气候状况等因素的影响，选择24个工业水平相近的城市的一个交通点，统计单位时间过往的汽车数（千辆），同时在低空相同高度测定了该段时间段平均气温（℃）、风速（m／s）以及空气中一氧化氮（NO）的浓度（×10-6）。

在这一阶段中，教师要引导学生逐层思考建模过程，首先，引导学生在应用回归方程定量描述两个变量间的关系是，考虑NO浓度随车流量的增加而增加吗？平均而言，是直线趋势还是曲线趋势？如何采用回归方程定量地描述车流量等因素对大气中NO浓度的影响？车流量每增加100辆，NO浓度平均会增加多少？其次，通过假设检验推断NO平均浓度是否随车流量变化而变化。需要考虑车流量等因素的影响是否有统计学意义？车流量对NO浓度的影响有多大？最后，利用模型进行统计预测或控制，考虑由车流量预测大气中NO平均浓度？如何通过控制车流量达到空气中NO浓度的目的？

表3-2　24个工业水平相近的城市交通点统计情况

教师在这一阶段数学建模的过程中，重点是引导学生进行思考，经过这一阶段的训练，基本上使学生能够初步形成一定的建模能力，巩固所学数学知识，深入学生思考范围，逐步开拓学生思维。

（3）综合能力建模阶段

在综合能力建模阶段，主要是按照参赛标准进行培训，这是数学建模的高级阶段，毕竟，数学建模比赛是集中在三天内完成的，因此，学生必须在掌握了一定的建模能力的基础上，不仅能够独立完成对新的实际问题与数学模型间的结合，而且要求模型尽可能具有应用性、操作性，学生能够选择相应的方法或软件进行模型求解，在建模问题中，通常都是来自于现实生活中的各个领域的实际问题，没有固定的方法和标准的答案，因而不可能明确给出唯一解法，学生可通过对问题的分析、问题的特点和限制条件、重点和难点、开展工作的程序和步骤等，同时，还必须明确问题的本质，对所研究问题进行必要的、合理的简化，用准确简练的语言给出表述，进一步明确建模的目的，因为对于同一实际问题，处于不同的目的所建立的数学模型可能会有所不同，例如可以是描述或解释现实世界的现象、预报一个时间是否会发生、未来的趋势，又或者是优化管理、决策或控制等。在不同的数学模型的求解方法一般是不同的，通常设计不同数学分支的专门知识和方法，这就要求学生熟练地掌握一些数学知识和方法外，还应具备必要时针对实际问题学习新知识的能力，同时，还应具备熟练地计算机操作能力，熟练掌握一门编程语言、一个数学工具软件和一个专业统计软件的使用。其次，对于所求的解，必须要对模型解的实际意义进行分析，即模型的解在实际问题中说明了什么、效果怎样、模型的使用范围如何等。同时，需要掌握必要的误差分析灵敏度分析等工作。最后，学生应掌握模型的求解与检验的结果翻译到实际问题，检验模型的合理性和适用性，如果结果与实际情形不符，则需要对模型进行改造，一个好的模型不应该对问题中所给出数学的结构有过多的依赖，而应该是对一般问题本质的描述，还应该对模型进行优缺点分析，也就是模型的检验，这是对模型特性和本质的更深刻认识。在本阶段，教学对象可根据实际情况选拔数学基础好、计算机应用能力较强的学生，结合数学建模竞赛开展教学，利用历年全国大学生数学建模竞赛进行经典范例的模拟，同时还要加强学生对数学软件的掌握和应用，以及介绍查阅资料和论文写作的技巧，有意识地培养学生的团队协作精神，不怕困难的意识，不断提高学生的思维能力与实践能力。