函数的连续性：自然界中连续变化的现象及其函数关系

自然界中的许多现象都是连续变化的，如气温升降、河水流动、植物生长，这种现象在函数关系上的反映就是函数的连续性.它们有着共同的特征，即当时间变动很小时，气温的升降、河水的流动、植物的生长都是很微小的.下面我们由函数增量的概念引出函数的连续性定义.

设变量u从它的一个初始值u₁变到终值u₂，终值与初值的差u₂-u₁叫作变量u的增量，记为Du，即

Δu=u₂-u₁

注意：（1）增量Du可以是正的，也可以是负的.

（2）记号Du是一个整体，并不表示某个变量Δ与变量u的乘积.

现假定函数y=f（x）在点x₀的某个邻域内有定义，当自变量在这个邻域内从x₀变到x₀+Δx时，函数值y相应地从f（x₀）变到f（x₀+Δx），因此y的对应增量为

Δy=f（x₀+Δx）-f（x₀）

其几何解释如图1-14所示.

图1-14

如果x₀不变而让自变量的增量Δx变动，函数y的增量Δy也随着变动.现在对函数的连续性概念进行以下描述：如果当Δx趋于零时，函数y的增量Δy也趋于零，即

那么函数y=f（x）在点x₀处是连续的.因此有如下定义.

定义 设函数y=f（x）在点x₀的某一邻域内有定义，如果

则称函数y=f（x）在点x₀处连续.

为了应用上的方便，我们把函数y=f（x）在点x₀处连续的定义用下面的方式表述，即令Δx=x-x₀，则Δx→0时，x→x₀，所以

Δy=f（x₀+Δx）-f（x₀）=f（x）-f（x₀）

由函数在点x₀处连续的定义，有

因此函数在点x₀处连续也可用下述方式叙述：

函数y=f（x）在点x₀的某个邻域内有定义，如果

则称函数f（x）在点x₀处连续.

用“ε-δ”语言表述如下：(www.xing528.com)

f（x）在点x₀处连续⇔∀ε＞0，∃δ＞0，当∣x-x₀∣＜δ时，有∣f（x）-f（x₀）∣＜ε.

下面我们有左、右连续的概念.

如果存在，且等于f（x₀），即

则称函数f（x）在点x₀处左连续.

如果存在，且等于f（x₀），即

则称函数f（x）在点x₀处右连续.

如果函数在区间上每一点都连续，则称函数为该区间上的连续函数，或者说函数在区间上连续.

如果区间包括端点，那么函数在右端点连续指的是左连续，在左端点连续指的是右连续.

连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线.

如果f（x）是有理整函数（多项式），则对于任意的实数x₀，都有

因此有理整函数在区间（-∞，+∞）内连续.

对于有理分式函数，只要Q（x₀）≠0，就有

因此有理分式函数在定义域内每一点一定连续.

例1 证明：函数f（x）=sinx在区间（-∞，+∞）内是连续的.

证明 设x是区间（-∞，+∞）内任意取定的一点，则当x有增量Δx时，对应函数的增量为

所以

因此由Δx→0可得Δy→0，即函数y=sinx在区间（-∞，+∞）内连续.