简明高等数学：函数连续性研究及其应用

在现实生活中有许多量都是连续变化的，例如，一天中气温的变化、植物的生长、金属受热长度的变化等，都是连续变化的量．这些现象反映在数学上就是函数的连续性．18世纪，人们对函数连续性的研究仍停留在几何直观上，认为连续函数的图形能一笔画成．直到19世纪，严格的极限理论建立后，人们给出连续精确的数学表述．为了刻画函数的连续性，我们先介绍函数增量的概念．

一、函数连续的概念

1．增量

定义 设变量u从它的初值u0变到终值u1，则终值与初值之差u1-u0就叫作变量u的增量，又叫作u的改变量，记作Δu，即

Δu=u1-u0．

增量可以是正的，可以是负的，也可以是零．

如果函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义，当自变量x从x0变到x0+Δx时，函数y=f(x)相应地从f(x0)变到f(x0+Δx)，因此函数y的相应改变量为

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)（见图1-25）．

图1-25

例1 设y=f(x)=3x2-1，求适合下列条件的自变量的增量Δx和函数的增量Δy．

（1）当x由1变到1.5；

（2）当x由1变到0.5；

（3）当x由1变到1+Δx．

解 （1）Δx =1.5-1=0.5，Δy=f(1.5)-f (1)=5.75-2=3.75；

（2）Δx =0.5-1=-0.5，Δy=f(0.5)-f (1)=0.75-1-2=-2.25；

（3）Δx=(1+Δx)-1=Δx ,Δy=f(1+Δx)-f(1)=[3(1+Δx)2-1]-2=6Δx+3(Δx)2．

2．函数连续的定义

（1）函数y=f(x)在点x0处的连续性

例2 根据定义1证明函数y=f(x)=3x2-1在点x=1连续．

证 因为函数f(x)=3x2-1的定义域为(-∞,+∞)，故函数在x=1的某邻域内有定义．

设自变量在x=1处有增量Δx，则函数相应的增量为

Δy=6Δx+3(Δx)2．

所以根据定义1可知函数f(x)=3x2-1在点x=1连续．

因此，函数在某点处连续的定义又可叙述如下.

定义2 设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即若

那么就称函数y=f(x)在点x0连续．

例3 根据定义2证明函数y=f(x)=3x2-1在点x=1连续．

证 （1）函数f(x)=3x2-1的定义域为(-∞,+∞)，故函数在x=1的某邻域内有定义，且f(1)=2；

因此，根据定义2可知，函数f(x)=3x2-1在点x=1连续．

如果函数f(x)在x0点不连续，则称函数f(x)在x0间断，x0为函数f(x)的间断点．

（2）函数y=f(x)在区间[a,b]上的连续性

如果函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点都连续，则称函数在开区间(a,b)内连续，区间(a,b)叫作函数y=f(x)的连续区间.

图1－26

解 函数f(x)在区间(-∞,1]内有定义．函数的图形如图1-26所示．

因为

所以函数在点x=1左连续．

二、初等函数的连续性

三、闭区间上连续函数的性质

1．最大值与最小值性质

在闭区间上连续的函数一定存在最大值和最小值．

如图1-27所示，设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么在[a,b]上至少有一点ξ1(a≤ξ1≤b)使得函数值f(ξ1)为最大，即

图1-27

f(ξ1)≥f(x)(a≤x≤b)；

又至少有一点ξ2(a≤ξ2≤b)，使得函数值f(ξ2)为最小，即

f(ξ2)≤f(x)(a≤x≤b)；

这样的函数值f(ξ1)和f(ξ2)分别叫作函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值．

2．介值性质

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的两端点取不同的数值f(a)=A与f(b)=B ，那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得

f(ξ)=C(a＜ξ＜b)；(www.xing528.com)

特别地，如果f(a)和f(b)异号，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使得

f(ξ)=0(a＜ξ＜b)．

由图1-28可以看出，在[a,b]上连续的曲线y=f(x)与直线y=C(A＜C＜B)至少有一个交点，交点的坐标为(ξ,f(ξ))，其中f(ξ)=C．

图1-28

如图1-29所示，如果f(a)和f(b)异号，那么，在[a,b]上连续的曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点，交点的坐标为(ξ,0)，即f(ξ)=0．

图1-29

上述介值性质是求方程f(x)=0的近似解的理论依据．

例8 证明方程sinx-x+1=0在0与π之间有实根．

证 设f(x)=sinx-x +1，因为f(x)在(-∞，+∞)内连续，所以f(x)在[0,π]上也连续，而f(0)=1＞0，f(π)=-π+1＜0，所以由介值性质，至少有一个ξ∈(0,π)，使得f(ξ)=0，即方程sinx-x+1=0在0与π之间至少有一个实根．

习题1.6

综合练习一

一、选择题

1．函数y=1+sin x 是（ ）．

A．奇函数 B．偶函数

C．单调增加函数 D．有界函数

2．下列函数中不是复合函数的是（ ）．

A．x→1 B．x→1+ C．x→1-

4．如果函数f(x)当x→x0时极限存在，则函数f(x)在点x0（ ）．

A．有定义 B．无定义 C．不一定有定义

二、写出下列函数的复合过程

三、求下列各极限

四、解答题