简明高等数学：函数的概念及定义

一、函数的概念

1.函数的定义

定义1 设x和y是两个变量，D是一个非空实数集．对于每个数x∈D，变量y依照某一对应法则f有唯一确定的数值与之对应，则称y为x的函数，记作y=f(x)．其中数集D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量或函数，f表示y与x的对应法则．函数也可以用其他符号来表示，如F(x)，g(x)，φ(x)，y(x)，s(t)等．

图1-1形象地表示出函数的定义域、值域、对应法则、自变量及因变量（函数）等．

图1-1

2．确定函数的两个要素

由函数的定义知，确定函数的两个基本要素是定义域D与对应法则f．也就是说，两个函数当它们的定义域和对应法则都分别相同时，两个函数才是相同的．

当我们研究函数时，必须注意函数的定义域．在考虑实际问题时，应根据实际问题的意义来确定定义域．对于用数学式子表示的函数，其定义域是使该表达式有意义的自变量的取值范围．例如y=x2的定义域为(-∞,+∞)．

图1-2

例1 设函数f(x)=x3-3x +1，求f(0)，f(x0)，f(a2)，f2(a)．

解 f(0)=03-3×0+1=1，

f(x0)=x03-3x0+1，

f(a2)=(a2)3-3a2+1=a6-3a2+1，

f2(a)=[f(a)]2=(a3-3a +1)2．

可见，函数f(x)=x3-3x +1的对应法则为f( )=( )3-3( )+1，即自变量的立方减去自变量的3倍再加上1．

解 为使函数有意义，需同时满足x-1≥0，x-2≠0，且5-x＞0．所以此函数的定义域D=[1,2)∪(2,5)．

3．函数的表示

函数的表示法通常有三种：解析法、列表法和图形法．

以数学式子表示函数的方法称为解析法（或公式法）．

如例1、例2中的函数都是用解析法表示的．又如方程ey=xy也是用解析法表示的函数，只不过它没有直接写出y与x的对应法则，我们把这种函数称为隐函数．

解析法的优点是形式简明，便于数学上的分析与计算．它的缺点是抽象、不易理解．本书主要讨论用解析式表示的函数．

有时我们会遇到一个函数在自变量的不同取值范围内用不同的式子来表示．例如，某城市出租车的计价器按以下方法计价：里程不超过3公里时收费7元，超过3公里的部分每公里收费1.5元，则出租车收费y和行驶里程x之间的函数关系为

在自变量的不同取值范围内用不同的式子来表示的函数称为分段函数．

（1）求函数f(x)的定义域；（2）求f(-1)，f(2)，f(3)；（3）作出f(x)的图形．

解 （1）f(x)的定义域为(-∞,+∞)．

（2）f(-1)=-(-1)=1，f(2)=22=4，f(3)=2×3=6．

（3）f(x)的图形如图1-3所示．

图1-3

注意：①分段函数是用几个式子合起来表示一个函数，而不是表示几个函数，其定义域是各个部分的自变量取值集合的并集，在科技、工程等实际应用中经常用到分段函数．

②在求分段函数的函数值时，应先确定自变量的取值范围，再按相应的式子计算．

以表格形式表示函数的方法称为列表法．

例4 某超市2010年第一季度各月销售额如下表所示．

这是用列表法表示的函数．其定义域为{1，2，3}，值域为{153.2，198.5，117.7}．

列表法的优点是简明、使用方便，可以不经计算而直接查到函数值．但若函数的值域是一个无限集合时，则无法将函数值全部列出来，这是列表法的一个突出缺点．数学用表中的函数都是用列表法表示的，一些科技手册、经济统计报表也常采用这种方法．

用平面直角坐标系内的点集（图形）表示函数的方法称为图形法．

例5 图1-4所示的是用气温自动仪记录的某地某天24小时的气温变化曲线．该曲线描述了当天气温T随时间t变化而变化的情形．对于任何时刻t0∈[0,24]，可按图1-4中所示的对应法则唯一确定t0时刻的气温值0T．

图1-4

图形法的优点是直观、通俗，容易比较不同自变量时，函数值的变化情况．它的缺点是不便做精细的理论研究．

这三种函数的表示法各有优缺点，常将它们结合起来使用．一般可根据函数自身的特点选择适当的表示方法．此外，还有其他的函数表示法．

二、初等函数

1.基本初等函数

我们把常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数（见表1-1）．

表1-1

下面列出基本初等函数的图形及性质．

（1）常数函数.

常数函数y=C（C是常数），定义域为(-∞,+∞)．其图形如图1-5所示．

图1-5

（2）幂函数.

y=xα(α为常数)，其定义域要依α具体的值而定．几种常用的幂函数如图1-6 所示．

图1-6

（3）指数函数.

指数函数y=ax(a＞0,a≠1,a为 常数)，其定义域为(-∞,+∞)．其图形如图1-7所示．

图1-7

（4）对数函数.

对数函数y=loga x(a＞0,a≠1,a为 常数)，其定义域为(0,+∞)．其图形如图1-8所示．

图1-8

（5）三角函数.

常用的三角函数有：

①正弦函数y=sinx，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[-1,1]，是周期为2π的奇函数，如图1-9所示．

图1-9

②余弦函数y=cosx，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[-1,1]，是周期为2π的偶函数，如图1-10所示．

图1-10

图1-11

④余切函数y=cotx，其定义域为x≠kπ,k∈Z ，值域为(-∞,+∞)，是周期为π的奇函数，如图1-12所示．

图1-12

（6）反三角函数.

由于三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx不是单调函数，为了定义其反函数，对这些函数限定在“主值”区间来讨论反函数．

常用的反三角函数有：

图1-13

②反余弦函数y=arccos x ，其定义域为[-1,1]，值域为[0,π]，如图1-14所示．

图1-14

图1-15

④反余切函数y=arccot x ，其定义域为(-∞,+∞)，值域为(0,π)，如图1-16所示．

图1-16

例6 求下列反三角式子的值．

（2）设arccos(-1)=α，则cosα=1-，且α∈(0,π)，故

α=π，即arccos(-1)=π；

（4）设arccot0=α，则cotα=0，且α∈(0,π)，故

2．简单函数

3．复合函数

定义2 设y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=φ(x)，则称函数y=f[φ(x)]为复合函数，变量u称为中间变量．

例7 将函数y=lnu，u=sinv，v=x2+1复合成一个函数．

解 将中间变量依次代入：y=lnu=lnsinv=lnsin(x2+1)，y=lnsin(x2+1)即为所求函数．

一般地，我们可以将复合函数分解成若干个简单的函数进行研究.

例8 下列函数是由哪些简单函数复合而成的？

4．初等函数

定义3 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算所得到的并且能用一个解析式表示的函数称为初等函数，否则称为非初等函数．(www.xing528.com)

三、经济函数

1．成本函数

总成本是工厂为生产一种产品所需的全部费用，通常可把总成本分为固定成本和变动成本两大类．固定成本是指厂房、机器设备的折旧费、保险费、管理人员的工资、广告费等．显然当产量在一定范围内变动时，上述开支都基本不变，故称固定成本．变动成本则指直接用于生产的成本，如原材料费用、能源消耗费用、生产工人工资、包装费等．显然变动成本与生产量有关，随生产量的增加而增加．

某产品的产量为Q，总成本为C，总成本函数记为

其中C1为固定成本，C2为变动成本．平均成本是生产一定量产品时，平均每单位产品的成本．即

2．收益函数

3．利润函数

总收益R大于总成本C时，就有盈利，其利润为L(Q)=R(Q)-C(Q)．此式称为利润函数．当R小于C时，就要亏本．

如果总收益等于总成本，则既不亏本也不盈利，此时的产量或销售量为生产部门的保本点，或称为盈亏转折点．

解 总成本C与产量Q之间的关系 C=200 000+300Q ．

销售收入R与产量Q之间的关系 R=500Q．

利润L与产量Q之间的关系 L=R-C=200Q -200 000．

从利润关系来看，希望有较大的利润需要增加产量．若Q＜1000，则要亏损；若Q＞1000，则可盈利；Q=1000为保本点．

从平均成本来看，为了降低成本，应增加产量，以形成规模．

例10 某工厂生产某产品每吨售价2千元，若每天生产Q吨的总成本为C（千元），且有C=Q2-4Q +5，求该厂的盈亏转折点．

解 总收入R=2Q，设R=C，得

2Q=Q2-4Q +5．

解方程

Q2-6Q+5=0．

得

Q1=1，Q2=5．

即该厂盈亏转折点有两个，分别为生产1吨和生产5吨．

［小问题］这两个保本点在性质上有什么不同呢？

考虑利润，则有 L=R-C=2Q-(Q2-4Q +5)=-(Q-1)(Q -5)．

显然，当Q＜1和Q＞5时，L是负的；当1＜Q＜5时，L是正的．这说明第一个转折点Q1=1是工厂保本的最低生产量；第二个转折点Q2=5是盈利的最高生产量，当生产超过每天5吨时，工厂同样要亏本．

习题1.1

1．求下列函数的定义域：

2．下列函数是由哪些简单函数复合而成的?

5．写出如图1-17所示的矩形波函数f(x)在一个周期[-π,π)上的函数表达式．

图1-17

6．一仪器由于长期磨损，使用t年后的价值由函数Q(t)=Q0e-0.04t 确定．使用20年后，仪器的价值为8986.58元，试问当初此仪器的价值为多少？

7．一汽车租赁公司出租某种汽车的收费标准为：每天的基本租金为200元，另外每千米收费15元．

（1）试建立每天的租车费与行车路程x（km）之间的函数关系．

（2）若某人某天付了400元租车费，问他开了多少千米？

8．某企业生产一种产品，固定成本为12 000元，每单位产品的可变成本为10元，每单位产品的售价为30元，求：（1）总成本函数；（2）总收益函数；（3）总利润函数．

9．某衬衣厂生产每件衬衣的可变成本为15元，每天的固定成本为2000元，如果每件衬衣的售价为20元，为了不亏本，该厂每天至少要生产多少件衬衣？

10．某厂每批生产某种产品x个单位的费用为

C(x)=5x+200（元），

得到的收入为

R(x)=1x0-0.01x2（元）．

问：每批生产多少单位时才能使利润最大？