省力成形的力学原理

1.沿工具运动方向载荷的计算

工具与工件在接触面上通常作用有压力和摩擦力（见图6-1），正压力垂直于工具表面，摩擦力沿工具表面且与金属流动方向相反。施力（载荷）的数值等于工具的工作表面（通常为与工件接触的表面）每个微小面积乘以其上所作用的压力及摩擦力在工具运动方向的投影之总和。为了易于理解，举一个环形件液压胀形（见图6-2）时作用在冲头上的总载荷计算方法。

图6-1 工具与工件在接触面上摩擦力的方向

由于液体和固体界面的摩擦力可近似为零，计算公式就可以简化一些。如图6-2所示，冲头的工作面由两部分组成，一部分是直径为d的圆平面，另一部分是曲面，前者的作用力可以由压力乘以面积求得，后者则需要利用力的投影关系。即

式（6-1）右端积分号内pcos αdS的物理概念是压力在工具运动方向上的投影乘以其所作用的微面积dS，是一个微载荷dP，将其积分可得载荷P₂。根据帕斯卡定律“加在密闭液体任一部分的压强，必然按其原来的大小，通过液体向各个方向传递”，所以每一瞬时的压强p为常数。于是可以写成，前者的含义是各处压力在工具运动方向上的投影乘以其所作用的微面积总和，后者是压力乘以面积的投影之和。

于是可以表达为：各处压力在工具运动方向上的投影乘以其所作用的微元面积之和等于压力乘以各处面积在与工具运动方向垂直面上的投影之和，简称“以面积的投影代替压力的投影”。由于接触面上各处的方向不同，即使对于相同压力数值的投影值也是变化的，因此计算起来比较繁琐，但接触面的投影则比较直观且易于计算。例如，对于图6-2所示的情况，可以直接写出

应当强调的是，根据“以面积的投影代替压力的投影”这一原则，对于不同的工具形状都是适用的。图6-3示出用不同形状工具液压胀环，即直径相同但冲头前端形状不同，由于未改变接触面的投影，因此用式（6-2）求出的结果和采用平冲头的结果一致。

图6-2 环形件液压胀形时，作用在冲头上的载荷受力简图

图6-3 用不同形状工具液压胀环

还应指出的是，对于复杂形状工件的成形（见图6-4），接触面上的压力数值虽然是变化的，工程上计算时往往用变化着的压力的平均值来代替。这时上述原则仍然适用，且可使定性、半定量计算简化很多，这在解决工程问题时方便很多。

在有摩擦力的情况下，摩擦力的垂直分量对工具下移也构成阻力。图6-5所示为扁条拉拔的示意图，为简化起见此处暂不考虑正压力的影响。

图6-4 复杂形状工件成形中的压力分布

图6-5 扁条拉拔的示意图

接触面上摩擦力向上的分力为

F_τ＝∫τcos αdS

当τ为常数时，则有

F_τ＝τ∫cosαdS （6-3）

与前面类似，可以得出结论：各处摩擦力数值相同时，其在工具运动方向上的投影乘以其所作用的微面积之和等于摩擦力乘以各处面积沿工件运动方向上的投影。对于扁平件接触面在垂直方向的投影其数值为

S_project＝bh （6-4）

式中 b——坯料厚度，变形过程中厚度保持不变；

h——材料沿拉拔方向与模具接触面的长度。

2.典型工艺成形载荷的力学计算

载荷计算的方法有很多种，如滑移线法、上限法、切块法及有限元法等。本章侧重用切块法进行载荷计算，因为这种方法简明，且可以直观地看出多种因素对所需载荷的影响。

切块法的思想：切块法在前苏联称之为“主应力法”，在日本又称之为“平均应力法”，早在20世纪20年代就使用于拉拔、镦粗、挤压及轧制等工序的载荷计算中。它是一种比较简单的分析接触面上正应力分布并计算平均变形抗力的一种方法。由于推导的公式能明显地（至少是定性地）说明各个因素（摩擦、工件尺寸比、受力状态）对平均变形抗力的影响，所以至今仍然是变形力计算的重要方法之一。切块法的要点如下：

1）根据实际变形区的情况，将问题近似地按轴对称问题或平面问题来处理，并选用相应的坐标系。对于变形复杂的过程如模锻，可以将锻件分为若干部分；每一部分分别按照平面问题或轴对称问题处理，最后组合在一起，得出整个问题的解。例如，根据连杆模锻时的金属流动特点，可将锻件的左、右两个半圆视为轴对称变形部分，而中间部分为平面应变部分，连杆模锻时的金属流动平面和流动方向示意图如图6-6所示。

图6-6 连杆模锻时的金属流动平面和流动方向示意图

a）复杂流动 b）两端部的轴对称流动 c）中部的平面应变流动

2）根据某瞬时变形体的变形趋向，截取包括接触平面在内的典型基元块，且认为仅在接触面上有正应力和切应力（摩擦力），而在其他切面上仅有均匀分布的正应力即主应力。在列平衡方程式时只需按实际所受到的拉、压应力标明方向，不需另考虑正负号，即以绝对值代入。

3）在应用屈服准则σ_max-σ_min＝βσ_s（式中β为罗德参数）时通常忽略摩擦的影响。即在接触面上的正应力视为主应力。这时需要考虑正负号，拉为正，压为负。

本节重点阐明影响圆柱体镦粗、圆环压缩和模锻等压缩变形所需载荷的影响因素及降低载荷的途径，对于这类成形方式，其共同点为高度方向尺寸减小，横截面尺寸增加。但由于边界条件不同，压力分布曲线也不相同。

概括地说，圆柱体镦粗在外侧自由，环形件压缩内外侧自由，模锻由于飞边的存在，造成极大的阻力，使压力数值显著升高。下面分别对其进行阐述。

（1）圆柱体压缩 由于圆柱体是轴对称的，所受到的载荷也是轴对称的，因此属于轴对称问题的切块法求解。图6-7所示为圆柱体压缩时按切块法受力分析的示意图。

由于变形时圆柱体内质点沿径向外流，在工具与工件接触面上除作用有压应力σ_z外，还有阻碍金属外流的摩擦力τ，由于后者是径向压应力，它必然导致在工件内产生环向压应力σ_θ，这可由图6-8所示的力平衡原理图看出。

图6-7 圆柱体压缩时按切块法受力分析的示意图

图6-8 力平衡原理图

圆柱体镦粗所需载荷的计算过程如下：

1）列出切块区域沿径向r力的平衡方程，即

整理并略去高次项，得到平衡微分方程，即

可以证明，对于圆柱体压缩沿径向及环向的应变相等，即ε_r＝ε_θ。根据塑性应力应变关系理论，若应变相等则相应方向的应力也相等，由此可得

σ_r＝σ_θ （6-7）

将式（6-7）带入式（6-6）可得

2）列出屈服方程。由于关心的是σ_z的变化，还要找到式（6-8）中σ_r与σ_z的关系。根据屈服准则，塑性变形时各应力之间的关系必须满足一定的关系式，对于圆柱镦粗将σ_z及σ_r均视为主应力可以写出如下的近似屈服准则。即

σ_z-σr＝Y （6-9）

式中 Y——材料的流动应力。

将式（6-9）对dr微分可得

将式（6-10）代入式（6-8）式可得

应该指出的是，对于轴对称问题材料的最大切应力τ_max，在使用Tresca屈服准则时τ_max＝，使用Mises屈服准则时，其中Y为材料的流动应力。

3）带入边界条件求解。以上方程的求解取决于相应的边界摩擦条件。对于边界摩擦条件，工程上习惯有以下几种处理方法，得到的σ_z＝f（r）的分布情况也不相同。

对于冷成形，通常取τ＝μσ_z，此时摩擦力取决于正压力的大小，相应的压力分布公式为

对于热变形，通常采用剪切摩擦模型或Tresca摩擦模型（式中m为摩擦因子），此时摩擦力取决于材料所允许的最大切应力。即

当m＝1时，摩擦力，这是摩擦力的极值，此时边界已经粘着，以近似边界处材料的剪切流动代替界面上的滑动。这时的库仑摩擦定律已不再适用。式（6-12）及式（6-13）所表示的压力分布可以由图6-9及图6-10表达。

图6-9 不同摩擦条件下镦粗单位压力分布

a） b）τ＝μσ_z

由式（6-12）及式（6-13）及图6-9可见，压力分布曲线σ_z是从自由边界值Y起步，由表面向内部深入，σ_z不断增大，可以形象地说，离自由表面越远数值就越大。图6-10形象地表示了对于同一工件高度h值当d值变化时压力分布的变化情况。由该图可见，对于同一摩擦条件、同一工件高度，减小变形投影面积，也就是减小直径（对于圆柱体），变形力无疑会随之下降。

图6-10 圆柱直径对压力的分布影响

4）总变形力及平均压力的计算。总变形力可以将式（6-12）或（6-13）中的σ_z沿接触平面积分。工程上最关心的是平均单位压力，即将总变形力除以接触面积所得的力，即单位面上的平均作用力，其表达式如下：

①当τ＝μσ_z经简化后的平均压力的计算公式为

②当（m的取值范围为0≤m≤1），计算所得的平均压力计算公式为

若将式（6-14）与式（6-15）以图形表示（见图6-11），则可以很直观地看出影响圆柱体镦粗变形力的主要因素，当材料一定、变形温度及应变速率也已知时，其流动应力Y也随之被确定，镦粗时平均压力（总变形力也如此）随着直径与高度的比值及摩擦系数μ及摩擦因子m的增大而显著增大。当摩擦系数μ及摩擦因子m的数值相同时，可以看出按前者计算出的平均压力要大于按后者计算出的平均压力。

图6-11 圆柱体镦粗平均压力受摩擦系数及圆柱d/h的影响情况

a）库仑摩擦 b）剪切摩擦(www.xing528.com)

应当指出，若边界的摩擦力为零，镦粗的平均压力等于流动应力Y，这从式（6-14）及式（6-15）也可以看出。从图6-11还可以形象地看出，由于摩擦的存在，随着d/h增大而

使载荷急剧增大，当m＝0.2，时，＝1.12，也就是说12%的载荷是由摩擦所引起的，这些“多余载荷”还引起能耗的增加。因此，减少多余载荷是低载成形的主要任务。

（2）环形件压缩 环形件在无摩擦压缩时，内外径均增大，当摩擦力大时，由于金属外流受阻，少量金属内流，此时外径增大，内径缩小。圆环压缩金属流动情况如图6-12所示。圆环压缩时的内外径变化曾经作为标定摩擦系数或摩擦因子的依据，通过内外径尺寸的变化确定出摩擦因子。

图6-12 圆环压缩金属流动情况

图6-13 采用摩擦系数μ的圆环压缩理论曲线

图6-13给出了当圆环外径∶内径∶高度为6∶3∶2摩擦系数的圆环压缩理论计算出的曲线。将实验测得的压缩率和内径减少率数据在与图中的理论曲线进行比较，即可确定出摩擦系数μ，试验研究用的圆环压缩量在50%左右较合适。对于超塑性材料也可用类似的方法标定摩擦系数，但此时要考虑应变速率的影响。由图6-13可以看出，随着摩擦力增加和压缩率增加（高度下降），圆环的内径减小很显著。由前面圆柱体压缩的压力分布曲线可以看出自由表面为压力分布的起点数值，等于材料的流动应力Y，从自由表面向内深入r值在减少，压应力的绝对值逐渐增大。对于环形件的近外侧处，也有类似的情况，且由于在中性面两侧的金属，流动方向相反（见图6-14），在该处对应于压力分布的峰值，由中性面向内压力下降直至在内表面处达到材料流动应力Y值，由于中性面偏内表面，所以压力分布曲线并不对称，近外侧处较平缓，近内侧处变化较陡。

图6-14 环形件与圆柱体压缩时接触面上的压力分布

环形件压力分布的公式推证过程与圆柱体镦粗类似，不过对于后者，径向应力σ_r在自由表面处为零，柱体中心的压力最高，此处对应于压力分布的峰值，对于环形件有摩擦压缩，金属向内外流动，径向应力σ_r从内外表面向工件内部深入时，绝对值也在增大，到中性面（内外流动的分界面）时两者相等。

（3）闭式模锻 模锻时变形比较复杂，如图6-15所示，模锻可以分为三个阶段：第一阶段是圆柱体在模腔的平台之间镦粗；第二阶段是继续镦粗毛坯的同时，金属被压入深腔B部；第三阶段是当深腔B部被充满后，多余金属沿飞边外流。模锻件产生飞边的作用有二：一是造成阻力，使金属能充满型腔深部；二是起“安全阀”的作用，使多余金属在较大阻力下能从型腔排出，避免工件厚度超差（在锤上模锻时）或造成闷车使设备的零部件损坏（在曲柄压力机上模锻时）。但是由于飞边桥口起着“瓶颈”作用，使在模锻第三阶段的变形力迅速增大。

图6-15 盘形件模锻过程的各个阶段

a）锻造起始 b）第一阶段 c）第二阶段 d）第三阶段

飞边的桥口部分金属变形类似一个很薄的环形件压缩，但此处金属都是外流的，正压力分布也可以用类似前面的方法获得。当金属流出飞边的桥口流入飞边的仓部时按自由表面处理，该处的压应力等于流动应力Y，在模腔进入桥口处的压应力如下。

①采用库仑摩擦模型时的正压力分布为

②采用Tresca摩擦模型时的正压力分布为

在桥口部分的压力分布如图6-16中上部所示，随着所分析点的内移，模腔内置点外流向飞边桥口时，式（6-16）就变成新的“边界条件”，于是“水涨船高”压力值就会越来越高，直至工件在对称轴线上达到压力最大值。

图6-16 简单锻造桥口部分的压力分布

图6-17 模腔内金属的流动情况

应当提到的是，此时在模腔内不是所有金属都参与变形，如图6-17所示，已充填入深腔的I区可视为“死区”，不参与变形流动。变形区仅发生在II区，与II区毗邻的III区是过渡区，它可以不断向II区补充金属。由图6-17还可看出，II区的高度远小于工件的高度，且自中部至边缘高度在减少。对回转类锻件可采用席明诺夫公式来计算模锻时的总压力，即

式中 F′_flash——飞边在水平面上的投影，；F′_part——锻件在水平面上的投影，；

h_flash——飞边桥口高度；

b——飞边桥口宽度；

D_part——锻件的直径。

对于长轴类锻件，席明诺夫也给出了计算模锻力的公式，即

式中 B——锻件的平均宽度；

其余符号的含义与前同。

式（6-19）右端系数1.15是因为按平面应变问题处理而带来的，由式（6-18）和式（6-19）可以看出，模锻力只考虑锻件的投影面积，而不考虑型腔的差异，这是因为在模锻后期（见图6-17）型腔的深部已变成“死区”了，变形区集中在锻件分模面附近的一个棱镜状区域。式（6-18）和式（6-19）右端的第一项均代表作用在飞边上的力，第二项代表作用在型腔上的力。由式（6-18）和式（6-19）可见，影响飞边力的b/h_part项不仅存在于式（6-18）和式（6-19）计算飞边力的第一项中，也包含在代表作用在型腔上力的第二项中，这是由于飞边的存在，也提高了作用在型腔边缘压力的起点值，这一点可以从图6-18中形象地表示出来。图6-18所示为模锻结束时模具所受压力的分布情况，值得注意的是，此时的模具所受压力分布与模具的形状无关，真正金属受力的变形区只在工件的中部即图6-17中的区域Ⅱ。

由图6-18还可以看出，飞边桥部材料的流动应力Y及摩擦系数对变形力的影响。由于飞边很薄，温度容易降低，流动应力较高，因此保持模具温度很重要。等温成形时模具的温度保持在锻造温度，有助于降低变形力，另外选取合适的润滑剂，对减小摩擦力和变形力起很大作用。再有，飞边桥口的尺寸h_part与b对模锻变形力影响很大，不是b/h_part越大越好，应该选取能保证充满模腔的最小b/h_part值。

（4）弯曲成形 板材弯曲过程中，当板材宽度远大于厚度时，板材在变形过程中可以看做平面应变状态。有关板材弯曲的解析分析很多学者都进行了研究。本章采用Hosford于1983年提出的弯曲理论分析模型进行板材弯曲变形的计算。板材弯曲的受力简图如图6-19所示，图中R为板材中面的曲率半径，Z为任一微元到中面的距离。由于板材弯曲过程是平面应变变形，因此有ε_y＝0，ε_z＝-ε_x。通过变形前后弯曲物体的几何关系可知，沿X方向的工程应变ε_x＝（L-L₀）/L₀＝z/R，其真实应变为

图6-18 模锻后期模具压力分布

图6-19 板材弯曲的受力简图

为了计算出导致产生弯曲变形的弯矩M，现假设板弯曲时在X方向没有外力作用，即∑F_x＝0。由于dF_x为作用于厚度方向每一个增量微元wdz上的内力，即dF_x＝σ_xwdz。又因为弯矩为力和力臂的乘积，于是微元体的弯矩为dM＝zdF_x＝zσ_xwdz。

沿厚度方向总的弯矩M为

设弯曲结束时的板材厚度方向中间弹性区域的厚度为t_el，塑性层厚度为t-t_el，于是由式（6-21）可得

式中，，为平面应变模量。

弯曲件厚度方向的弹性应变为ε_x＝σ₀/E′，其中σ₀为材料的初始屈服强度。又因为当弯曲变形较小时ε_x≈z/R。因此弹性区域的厚度为

t_el＝2ε_xR＝2σ₀R/E′（6-23）

如果考虑材料的塑性硬化，且硬化规律符合指数变化，则针对弯曲模型有

式中，

将式（6-24）代入式（6-23）可得考虑材料硬化时的弯矩为

在板材的弯曲过程中由模具所提供的外部弯矩和板材内部的抵抗弯矩是相等的，板材厚度增加，弯曲力会显著增加，弯曲角度增大，弯曲力减小。

（5）拉深成形 杯形件拉深是一个相对简单的成形工艺。杯形件拉深中有两个重要的区域：一个是法兰部位，其塑性变形最剧烈；另一个是杯壁，其起到传递拉深力的作用。根据Whiteley的前期工作可对杯形件的拉深成形进行解析分析，公式推导使用的坐标系如图6-20所示。所用的简单假设如下：

1）成形过程中所用的能量都用于法兰部位的变形，关于板材流入模具所受到的摩擦、弯曲所做的功将在后期通过等效因子来予以计算。

图6-20 拉深过程解析分析所用坐标系

2）材料没有应变强化。

3）法兰部金属的流动属于平面应变，即ε_z＝0，因此杯壁的厚度与板材的原始厚度相同。

由于法兰部位应变ε_z＝0的假设，杯形件拉深前后表面积不变，因此可得

πρ²+2πr₁h＝πρ²₀

2πρdρ+2πr₁dh＝0

dρ＝-r₁dh/ρ （6-26）

环向应变为dε_y＝dρ/ρ，由于dε_z＝0，则

dε_x＝-dε_y＝-dρ/ρ＝r₁dh/ρ²（6-27）

其中，dh为冲头的进给位移增量。在环形单元ρ和ρ+dρ所做的增量功与所包含的单元体积2πtρdρ和单位增量功σ_xdε_x+σ_ydε_y+σ_zdε_z＝（σ_x-σ_y）dε_x的乘积相同。因此，在单元体的总功为dW＝（2πtρdρ）（σ_x-σ_y）（r₁/ρ²）dh。尽管σ_x和σ_y在法兰区是变化的，但（σ_x-σ_y）是不变的，并可以记为σ_x-σ_y＝σ_f。因此总功为

拉深力F_d，等于dW/dh，在拉深开始时，即就是r＝r₀时，获得最大值

F_d（max）＝2πr₁tσ_fln（d₀/d₁） （6-29）

由式（6-29）可知拉深力受拉深坯料直径和拉深筒形件直径之比的影响，拉深力随该比值的增加呈对数倍增加，并且拉深力还随着板材厚度、材料径向和环向应力差，以及拉深筒形件半径的增加而增大。

（6）板料冲裁 冲裁是板材在模具作用下发生断裂分离的过程。冲裁力P的大小与冲裁周边长度、板材的厚度和抗拉强度相关，Timmer Heil提出了冲裁力的经验计算公式为

P＝fLtR_m （6-30）

式中 f——系数，取决于材料的屈强比，可由图6-21求得，一般f为0.6～0.7；

L——冲裁内外周边的总长（mm）；

t——材料厚度（mm）；

R_m——材料的抗拉强度（MPa）。

上述方法由Timmer Heil提出。，t′为出现最大冲裁力（即上述计算式中的冲裁力P）时凸模压入材料的深度，它和材料的屈强比有关。采用上述计算公式计算得冲裁力比较符合实际，已被纳入德国标准。另外，原材料提供的力学性能包括材料的抗拉强度R_m和屈服强度R_eL，用它们的比值（即屈强比）从图6-21中求得f，进而可算出冲裁力，使用方便。