冻结速率与时间的计算方法

（一）冻结速度

国际制冷学会对食品冻结速度的定义做了如下规定：食品表面至热中心点的最短距离与食品表面温度达到0℃后，食品热中心点的温度降至比冻结点低10℃所需时间之比，称为该食品的冻结速度v，单位为cm/h。分为三种情况：

快速冻结v=5～20cm/h；

中速冻结v=1～5cm/h；

慢速冻结v=0.1～1cm/h。

目前国内使用的各种冻结装置，由于性能不同，冻结速度差别很大。一般鼓风式冻结装置其冻结速度为0.5～3cm/h，属中速冻结；流态化冻结装置冻结速度约为5～10cm/h，液氮冻结装置冻结速度为10～100cm/h，均属快速冻结装置。

（二）冻结时间的计算

食品冷冻过程是一个很复杂的过程，它发生在一定的温度范围而非某一特定温度，在此过程中食品的物理性质不断发生变化，而且冻结过程还受初始条件、传热边界条件、食品形状多样性和不规则性等的影响，因此很难对食品冻结过程进行精确的描述，也很难找到一种通用方法对食品冻结时间进行预测。从国内外文献来看，食品冻结时间预测的研究方法主要有三种：简单公式法、数值模拟法和人工神经网络法。

1.简单公式法 简单公式法可分为分析计算法、理论分析法、无量纲变量法等。

（1）分析计算法：亦称为半经验半理论法，它综合实验和理论两种方法，对实验数据进行拟合处理，寻求近似值或经验关联式对理论公式引入各种修正系数，形成计算公式。该方法是最简单的食品冻结时间预测方法，即利用Plank公式及其修正式对冻结时间进行预测和估算。

Plank最早（1913）对无限大平板状、圆柱状、矩形截面的杆状及球状食品模型的冻结时间进行了研究，首先提出引入食品形状系数的冻结时间计算式，但该式忽略了冻结过程中显热变化和渐进相变对冻结时间的影响，因此预测准确度较低。

为提高计算精度，许多学者对Plank公式进行了改进和修正。Nagaoka修正式（1955）考虑了高于冻结点和低于冻结点阶段的显热变化，并用冻结过程中需除去的总热量代替潜热；1972年，国际冷冻协会将Plank公式中的潜热用食品结冰温度和冻结的终止温度间的焓差代替；Hung和Thompson（1983）用食品初温和终温的焓差及加权平均温差对Plank公式进行了修正，计算结果与实验测定值的平均绝对误差值为1.18%～4.66%。修正后的公式不仅提高了计算精度，还减少了所涉及的参数，扩大了应用范围，但这些还远不能满足实际要求。通过研究高于和低于初始冻结点温度的显热变化，Cleland（1979）和Earle（1984）得出了一系列回归方程对无限大平板、无限长圆柱体、球体、直角六面柱体的几何参数进行估算，并分析了不同终温对冻结时间的影响。为更全面地把握食品的冻结时间，Mascher⁃oni和Calvelo（1982）将冻结过程分成预冷、结冰和深冷三个阶段，分别计算每段的冻结时间；Salvadori等（1991）则综合考虑了食品冻结终温、尺寸、热物性及速冻装置运行状况等因素的影响，并以肉、鱼、土豆泥为例，推导出适合平板状、圆柱状和球状食品的冻结时间计算式，误差在5%之内；Campanone等人（2005）在先前研究成果的基础上，又考虑到冻结过程中食品表面水分蒸发和冰晶升华对冻结时间的影响，提出了新的分析预测方法和公式。

对复杂形状食品冻结时间的分析计算法有三种方法：等效传热因子法E，平均导热路径法MCP，等效球直径法，其中对等效传热因子法的研究最完善。通过收集大量实验数据，Cleland和Earle（1982）得出经验公式计算直角六面体和有限长圆柱体的等效传热因子。Pham（1991）提出一些公式来计算球体以及二维、三维不规则形状食品的E值，此前Pham（1985）引入平均导热路径的概念预测冻结时间。Ilicali和Hocalar（1990）则首次利用等效球直径概念计算不规则形状食品的冻结时间。

食品冻结时间的分析计算方法与公式是在许多假设的条件下获得的，与实际存在一定的差异，故计算出的结果与实测值有一定的误差，而且一般情况下，计算公式越简单，计算精度就越低。但是，这些计算公式简单易掌握，且不断被修正而不断提高精度，尤其适合工程实际计算及形状简单规则的食品的冻结时间的估算。

（2）理论分析法：求解热传导微分方程及流体力学方程，在一些理想的数学假设前提下，通过在给定的边界条件下积分的方法获得解析解，如Plank模型（1941）、Mellor模型（1976）、Cleland模型（1978）、Pham模型（1985）等。许多学者用变分法、积分法等对冻结过程相变时间、温度分布以及冻结时间做了大量研究：Tao（1968）通过对饱和液体的冻结进行模拟研究，得出了一系列计算无限大平板、无限长圆柱体和球状食品相变时间的公式和图表；Yuen（1980）则利用Goodman’s积分法得出分析解，确定了半无限大食品的冻结界面和温度分布；Talmon和Davis（1981）考虑了冻结过程中食品密度的变化，用一修正等温线法预测无限大平板的冻结时间，结果与实测吻合；Lunardini（1983）则分析了半无限大食品冻结过程中比热容和密度的变化，得出与前人结果较一致的分析解，又考虑到水结成冰时的体积膨胀，获得了一系列经验公式，用以估算冻结区和未冻结区的温度分布。

总的来说，这些计算模型和计算方法都存在通用性差的问题，而且这种纯理论的方法只适用于冻品两侧边界条件对称的情况，不能直接用于实际生产，因此仅能作为食品冻结时间计算和预测的理论参考。

（3）无量纲变量法：理论分析处理非常复杂、涉及的参数很多，为解决该问题，可以通过把公式整理为准则数的形式，用无量纲变量拟合得到的代数关系式对冻结时间进行预测。Mott（1964）用无量纲参数计算冻结时间，发现其有助于考虑食品形状和初始温度对冻结时间的影响，从而提高Plank公式的精度；而后，Hayakawa等人（1983）利用回归分析建立了食品冻结时间和无量纲参数的关系，使得无量纲变量法预测食品冻结时间的理论成型；Salvadori等人（1987）提出以无量纲变量为基础的计算图表来预测食品冻结时间，该方法通过用数值法求解物料冻结过程的热平衡方程式，得到食品品温与冻结时间的关系曲线，再利用食品中心点温度与冻结时间的关系曲线确定冻结时间。(www.xing528.com)

严格来讲，无量纲变量法是理论分析法的一种特殊形式，其最直接的作用就是便于数学处理。它既能使复杂问题的数理建模合理化，又能使计算简单化，省去标注单位换算的麻烦，但运算过程冗长繁琐，而且实际应用有较大的局限性。尽管如此，随着研究的不断深入，该方法将会获得更大的应用价值。

2.数值模拟法 即借助计算机软件或编程，利用数值计算方法获得数值解。这种求解方式是在对食品传热过程与机理研究分析的基础上，建立数学模型、设定边界条件，进而使用计算机求解。此方法对绝大多数食品模型和环境都适用，但需要对物理模型及边界条件有充分和正确的理解。

根据对相变热扩散形式描述方式的不同，数值计算对食品冻结的处理方法可分为焓模式数学模型和表观比热容数学模型，两者各有优缺点。焓模式的主要特征是采用焓和温度一起作为待求函数，在整个区域（包括液相区、固相区和两相区）建立统一的能量方程，利用数值解法求得焓和温度分布。食品的焓在冻结过程中是温度的连续函数，可使计算与编程简化，但精度较低些；而食品的比热容在冻结初始时不是温度的连续函数，计算难度和复杂程度会有所增加，同时计算中需作一些近似处理，不过，在较准确地获得食品的热物理性质后，此模型就能非常准确地预测食品的冻结时间。

研究证明，只要选用合适的数学模型及准确的食品热物理性质参数，数值模拟结果就有相当高的精度。物理问题的数学模型的选用较容易完成，但后一环节却十分困难，因为食品热物理性质较难直接测量且成本高，目前多采用数学模型求解的方法来确定。近年来，应用COSTHERM软件或PECO工程CIPACT93024软件、采用MM或DSC测量方法等，都可较为准确地获得食品热物性参数。数值计算方法包括有限差分法、有限元法、有限容积法、有限分析法和边界元法。对食品冻结时间的预测，以有限差分和有限元的应用最为广泛。

（1）有限差分法。它是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。考虑时间因素的影响，差分格式可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。其基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变量的微分方程和定解条件，求出差分方程的解作为求偏微分方程的近似解。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，以泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组，进而获得所需的数值解。

到目前为止，国内外专家学者已采用有限差分法对多种典型形状食品的冻结时间做了大量数值模拟，取得了许多成果。Allada和Quan（1966），Bailey（1974），Mannapperuma和Singh（1988）先后在以食品热物理性质为温度的函数的假设前提下，推导出了一些预测食品冻结时间的显式差分公式；Cleland和Earle（1984）确定了计算冻结时间和针对各种相变问题的有限差分解决方案，认为三阶隐式有限差分的Lees（1966）式模拟预测最为精确；Sheen和Hayakawa（1990）应用交替隐式差分法和有限容积法，建立了一种适用于食品不同导热过程的新型有限差分模型来求解冻结时间；关志强（1999）等通过建立平板状食品冻结过程的温度模型和焓模型，应用完全隐式差分法获得冻结时间的数值解，并以牛肉为例实验验证；刘宝林（2000）用隐式差分法求解了无限大平板食品的一维速冻过程，讨论了介质温度、表面传热系数和食品厚度对冻结时间的影响；谢晶等（2001）利用有限差分的焓方程数值求解鳕鱼在肋板鼓风冻结装置中的冻结时间，计算结果与实验的误差小于10%；汪政富（ZhengfuWang）等（2007）利用VB编程，有限差分离散模型方程，其模拟与实验结果的相对误差分别仅为4.69%（平板状卡尔斯鲁厄测试物）、8.03%（平板状牛肉）、0.55%（球状牛肉）、5.61%（圆柱状卡尔斯鲁厄测试物）。

有限差分法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。它特别适合处理形状规则食品的边界条件及线性问题，但对复杂区域的适应性较差及数值解的守恒性难以保证。

（2）有限元法。其基础是变分原理和加权余量法，基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用有限元法预测食品冻结时间的研究起步较晚，但进展深度和应用广泛度非同一般。Comini（1974，1978）应用有限元法在鼓风冻结装置中模拟了羊、牛肉的冻结，获得二维冻结时间的公式，预测误差在1℃内；Purwadaria等（1982）发明二维时间依存有限元法，模拟了椭圆状及梯形食品的冻结时间；Abdalla和Singh（1985）利用有限元码研究轴对称食品的冻结时间；Califano和Zaritzky（1997）采用有限元法延伸出的边界拟合网格法模拟二维任意形状食品的冻结时间，运算速度快且结果精确；赵艳云（YanyunZhao）和Kolbe（1998）运用有限元法对金枪鱼的冻结时间进行模拟试验研究，获得金枪鱼在各种冻结装置、各种冻结条件下的冻结时间，与实验结果较为吻合；郇中杰（ZhongjieHuan）等（2003）应用满足局部守恒律的Galerkin有限元法分析冻结和解冻过程，进而预测了各种形状食品在不同冻结条件下的冻结时间，结果表明该方法可以精确、稳定、快速有效地解决Stefan问题，准确预测冻结时间。

有限元法能相对轻松地处理食品冻结过程中热物性改变对冻结时间的影响，对不规则区域的适应性好，因此，对形状不规则或不均匀食品的冻结时间的研究及非线性的复杂边界条件问题的分析非常有效。但即使要处理一个简单的问题也需借助计算机来完成，同时与有限差分法相比，有限元法求解速度慢且占用电脑内存大。

数值模拟的优势在于能够分析食品中水的相变、热物性变化以及食品的不均匀性对冻结时间的影响。而这些都是简单公式法无法描述的，也是它产生较大误差的原因所在。模拟结果的准确性取决于是否选用了适用的热物性计算模型和传热系数计算模型，采用有限差分法时要确定合理的时间与空间间隔，采用有限元法时需对有限元作适当剖分。只要做好上述工作，数值模拟预测食品冻结时间是相当准确可靠的。

3.人工神经网络法 人工神经网络亦称连接模型，是对人脑或自然神经网络若干基本特性的抽象和模拟，是一个非线性动力学系统。对不能用数学模型准确表示的系统，以及处理大量原始数据而不能用规则或公式准确描述的问题，该方法表现出极大的灵活性和适应性。对食品冻结过程中冻结时间的预测，无论是数值模拟的数学模型还是简单公式法中的经验公式，都存在若干假设，不能十分准确地描述冻结过程，而神经网络在处理这类问题时就具有相当的优势。但不足之处在于，它必须获得大量原始数据。

神经网络在食品冻结时间及解冻时间方面的研究是在最近几年才兴起，所以，到目前为止，研究成果较少。Mittal和Zhang（2000）用神经网络处理由Pham模型计算得到的冻结时间数据，并以实验验证，误差在5%以内；Goni，Oddone（2007）运用人工神经网络和细胞运算法则编写出用于计算食品冻结时间、解冻时间的神经网络程序，可用于任何形状和尺寸的食品，其平均相对误差小于10%。

运用人工神经网络对冻结过程进行研究，将会为食品冻结时间预测方法的发展和创新带来启发性的思考和指导。但也要认识到，仅当难以找到更好的求解规则且拥有大量实验数据时，才考虑让神经网络自动寻找合理的求解途径，或者通过协同自动地求解复杂问题。

4.几种预测方法的比较 总结上述三种方法可知，预测食品的冻结时间，首先要根据食品冻结过程的传热传质特性，建立适当的预测模型；其次要获得必要的食品热物性参数；最后要根据精度需要，选择合适的预测方法。在食品冻结时间的预测方法中，分析计算法尽管因一些不合理的前提假设以及实验操作中的不确定因素产生了计算精度低等问题，但凭借其简易、实用的特点，在工程估算中仍被广泛采用。而理论分析法无实际的应用价值，只能对生产中食品冻结时间的预测起到方向性的指导作用。无量纲变量等式尽管存在诸多的局限性，但其发展前景令人期待。相比之下，数值模拟方法具有成本较低、能模拟较复杂及贴近实际工况的优点，不过采用该方法需要有相当的计算机软件操作能力，并要得到相关食品热物性参数，还需根据食品形状特征，选择适当的数值计算方法，这样才能保证计算结果的精度高。人工神经网络是对新的预测方法的探索实验，也是对数值模拟的补充，而绝不是取代。