优化问题的几何描述

优化设计的全过程一般可概括为：建立优化设计的数学模型；选择适用的优化方法；确定必要的数据和初始设计点；编写计算机的语言程序，通过计算机求解并输出计算结果；最后对计算结果进行必要的分析。

在这一过程中，优化设计数学模型的建立无疑是最关键的一步，是取得正确结果的前提，因此必须使它能全面准确地反映设计意图，同时还要有利于方法的实施。

为了有助于建立优化设计的某些概念，增强感性认识，现将有关设计变量、目标函数和约束条件之间的关系以及欲寻求的最优方案等作一几何解释。

无约束优化问题就是在没有限制条件下，对设计变量求目标函数的极小点。在设计空间内，目标函数是以等值线的形式反映出来的，则无约束优化问题的极小点即为等值线的中心。

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图7-7 极值点所处位置不同的情况

a）极值点处于多角形的某一顶点上 b）极值点处于等值线的中心 c）极值点处于约束曲线与等值线的切点上 d）极值点处于约束曲线与等值线的切点上 e）极值点处于两个约束曲线的交点上

约束优化问题是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，此极小点在可行域内或在可行域边界上。用图7-7可以说明有约束的二维优化问题极值点所处位置的不同情况。图7-7a是约束函数和目标函数均为线性函数的情况，等值线为直线，可行域为n条直线围成的多角形，则极值点处于多角形的某一顶点上。图7-7b是约束函数和目标函数均为非线性函数的情况，极值点位于可行域内等值线的中心处，约束对极值点的选取无影响，这时的约束为不起作用约束，约束极值点和无约束极值点相同。图7-7c、d均为约束优化问题极值点处于可行域边界的情况，约束对极值点位置影响很大。图7-7c中的约束g₁（X）=0在极值处是起作用约束。图7-7d中的约束g₂（X）=0在极值点处是起作用约束，而图7-7e中的约束g₁（X）=0和g₂（X）=0同时在极值点处为起作用约束。多维问题最优解的几何解释可借助于二维问题进行想象。