总结与框图：本章知识全解析

思8.1 单元体的三维尺寸必须为无穷小,对吗?

思8.2 在单元体上,是否可以认为每个面上的应力是均匀分布的,且任一对平行面上的应力相等?

思8.3 平面应力状态任一斜截面的应力公式是如何建立的?关于应力与方位角的正负符号有何规定?如果应力超出弹性范围,或材料为各向异性材料,上述公式是否仍可用?

思8.4 如何画应力圆?如何利用应力圆确定平面应力状态任一斜截面的应力?如何确定最大正应力与最大切应力?

思8.5 应力圆方法的适用范围是什么?什么情况下,三向应力图成为一个点元?

思8.6 何谓主应力?何谓主平面?如何确定主应力的大小与方位?

思8.7 何谓单向、二向与三向应力状态?何谓复杂应力状态?二向应力状态与平面应力状态的含义是否相同?

思8.9 “有正应力作用的方向必定有线应变”“无线应变的方向必定无正应力”“线应变最大的方向正应力也最大”,这些说法是否都正确?为什么?

思8.10 如何确定纯剪切状态的最大正应力与最大切应力?并说明扭转破坏形式与应力间的关系。与轴向拉压破坏相比,它们之间有何共同点?

思8.11 何谓广义胡克定律?该定律是如何建立的?应用条件是什么?各向同性材料的主应变与主应力之间有何关系?

思8.12 强度理论是否只适用于复杂应力状态,不适用于单向应力状态?

思8.13 几种常用强度理论的基本观点是什么?如何建立相应的强度条件?各适用于何种情况?

思8.14 如何确定塑性与脆性材料在纯剪切时的许用应力?

思8.15 冬天自来水管因其中的水结冰而被胀裂,但冰为什么不会因水管的反作用力而压碎呢?

思8.16 广义胡克定律只适用于各向同性线弹性体吗?

思8.17 一圆柱体在单向拉伸变形过程中,纵向伸长、横向收缩,但其体积不变,其泊松比μ应为何值?

【8.1类】计算题(截取构件内的指定点的单元体)

题8.1.1 试用单元体表示图示构件中点A、点B的应力状态,并标出单元体各面上的应力大小。

题8.1.1图

题8.1.2 如图所示木质悬臂梁,其横截面为高h=200 mm、宽b=60 mm的矩形。在点A木材纤维与水平线的倾角为α=20°。试求通过点A沿纤维方向的斜面上的正应力和切应力。

题8.1.2图(单位:mm)

【8.2类】计算题(平面、特殊空间应力状态的应力分析)

题8.2.1 在图示应力状态中,试分别用解析法和作应力圆来求指定斜截面上的应力。

题8.2.1图(单位:MPa)

题8.2.2 已知应力状态分别如图所示。试用解析法和作应力圆分别求:(1)主应力大小,主平面位置;(2)在单元体上绘出主平面位置和主应力方向;(3)最大切应力。

题8.2.2图(单位:MPa)

※题8.2.3 已知构件内某点处的应力状态为图示两种应力状态的叠加结果,试求叠加后所得应力状态的主应力、最大切应力。

题8.2.3图

题8.2.4 图示点K处为二向应力状态,已知过点K两个截面上的应力如图所示。试分别用解析法与图解法确定该点的主应力。

题8.2.5 某点处的应力状态如图所示,设σα、α及σy为已知,试考虑如何根据已知数据直接作出应力圆。

※题8.2.6 二向应力状态如图所示,试求主应力并作应力圆。

题8.2.4图(单位:MPa)

题8.2.5图

题8.2.6图(单位:MPa)

题8.2.7 图示棱形单元上,σx=60 MPa,面AC上无应力,试求σy及xy。

※题8.2.8 图示特殊空间应力状态单元体,试作出应力圆求其主应力及最大切应力。

题8.2.7图

题8.2.8图(单位:MPa)

※题8.2.9 某铸铁构件内危险点的θ=75°,微元体的α、β面上的应力如图所示。问破坏时,该点处裂开的方向与x轴成多少度?试在图上画出裂开方向。

※题8.2.10 层合板构件中微元受力如图所示,各层板之间用胶粘接,接缝方向如图。若已知胶层切应力不得超过1 MPa,试分析构件是否满足这一要求。

题8.2.9图

题8.2.10图

※题8.2.11 平面应力状态单元体如图所示,σ1、σ2为主应力,试证明:σ1+σ2=σx+σy。

※题8.2.12 图示平面应力状态下,其任意两个斜截面α、β上的正应力均相等,即σα=σβ成立,试分析其充分必要条件。

题8.2.13 图示矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为M=10 kN·m,FS=120 kN。试绘出截面上1、2、3、4各点的应力状态单元体,并求其主应力。(www.xing528.com)

题8.2.11图

题8.2.12图

题8.2.13图(单位:mm)

题8.2.14 如图所示悬臂梁,承受载荷F=20 kN,试绘微元体A、B、C的应力图,并确定主应力的大小及方位。

题8.2.14图

【8.3类】计算题(广义胡克定律的应用)

题8.3.1 在二向应力状态下,试计算主应力的大小。设已知最大切应变γmax=5×10-4,并已知两个相互垂直方向的正应力之和为27.5 MPa,材料的弹性模量E=200 GPa,μ=0.25。

题8.3.2 图示直径为d的圆截面轴,其两端承受扭力偶Me的作用。设由试验测得轴表面与轴线成45°方向的正应变ε45°,试求力偶矩Me。材料的弹性常数E、μ均为已知。

题8.3.2图

※题8.3.3 图示直径d=200 mm的钢质圆轴受轴向拉力F和扭转外力偶Me的联合作用,钢的弹性模量E=200 GPa。泊松比μ=0.28,且F=251 kN,现由电测法测得圆轴表面上与母线成45°方向的线应变为ε45°=-2.24×10-4,试求圆轴所传递的外力偶矩Me的大小。

题8.3.3图

题8.3.4 如图所示,在一个体积较大的钢块上开一个贯穿钢块的槽,其宽度和深度都是10 mm。在槽内紧密无隙地嵌入一铝质立方块,它的尺寸是10 mm×10 mm×10 mm。铝的弹性模量E=70 GPa,μ=0.33。当铝块上表面受到均布压力(其合力F=6 kN)的作用时,假设钢块不变形。试求铝块的3个主应力及相应的变形。

题8.3.5 如图所示,矩形截面钢拉伸试样在轴向拉力达到F=20 kN时,测得试样中段点B处与其轴线成30°方向的线应变为ε30°=3.25×10-4。材料的弹性模量E=200 GPa,试求泊松比μ。

题8.3.4图

题8.3.5图(单位:mm)

题8.3.6 纯剪应力状态单元体如图所示。(1)已知x=,材料的弹性常数E、μ,试求εx、ε45°、γmax;(2)若单元体边长l=5 cm、=80 MPa、E=72 MPa、μ=0.34,试求对角线AC的伸长量。

※题8.3.7 从某钢构件内某点周围取出的微元体如图所示。已知σ=30 MPa,=15 MPa,钢的弹性模量E=200 GPa,泊松比μ=0.3。试求微元体对角线AC的长度改变量。

题8.3.6图

题8.3.7图(单位:mm)

※题8.3.8 如图所示拉杆,F、b、h及材料的弹性常数E、μ均为已知。试求线段AB的正应变和转角。

※题8.3.9 如图所示,悬臂梁在截面C作用向上集中力F,在BC段作用向下均布载荷q。在截面A的顶部测得沿轴向线应变ε1=500×10-6,在中性层与轴线成-45°方向的线应变为ε2=300×10-6。材料的弹性模量E=200 GPa,泊松系数μ=0.3,试求载荷F及q的大小。

题8.3.8图

题8.3.9图

※题8.3.10 求图示单元体的体积应变θ、应变能密度u和形状应变比能密度ud。设E=200 GPa,μ=0.3。

题8.3.10图(单位:MPa)

※题8.3.11 如图所示矩形板,承受正应力σx与σy的作用,试求板厚的改变量Δδ与板件的体积改变量ΔV。已知板件厚度δ=10 mm,宽度b=800 mm,高度h=600 mm,正应力σx=80 MPa,σy=-40 MPa,材料为铝,弹性模量E=70 GPa,泊松比μ=0.33。

※题8.3.12 如图所示,列车通过钢桥时,用变形仪测得钢桥横梁点A的纵横应变分别为εx=0.000 4,εy=-0.000 12。设E=200 GPa,μ=0.3。试求点A在x和y方向的正应力。

题8.3.11图

题8.3.12图

【8.4类】计算题(强度理论的应用)

题8.4.1 已知应力状态如图所示。若μ=0.3,试分别用4种常用强度理论计算其相当应力。

题8.4.2 从某铸铁构件内的危险点处取出的单元体,各面上的应力分量如图所示。已知铸铁材料的泊松比μ=0.25,许用拉应力[σt]=30 MPa,许用压应力[σc]=90 MPa,试分别按第一和第二强度理论校核其强度。

题8.4.1图(单位:MPa)

题8.4.2图

题8.4.3 第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为σr3及σr4,试计算纯剪应力状态的σr3/σr4值。

※题8.4.4 由25b号工字钢制成的简支梁的受力情况如图所示,截面尺寸单位为mm。已查得:Iz=5 253.96 cm4,Wz=422.72 cm3,Iz/=21.27 cm。且材料的许用正应力[σ]=160 MPa,许用切应力[]=100 MPa。试对该梁作全面的强度校核。

题8.4.4图

※题8.4.5 如图所示,铸铁薄壁筒承受内压p=6 MPa,两端受扭转外力偶矩Me=1 kN·m的作用。已知其内径d=60 mm,壁厚δ=1.5 mm,试确定圆筒外壁上点A处的以下各量:(l)主应力及主平面(用主单元体表示);(2)最大切应力;(3)若容器发生破坏,引起破坏的原因是什么?破坏面发生在何方位?

题8.4.5图

※题8.4.6 如图所示,用Q235钢制成的实心圆截面杆,受轴向拉力F及扭转力偶矩Me作用,且Me=Fd/10,今测得圆杆表面点k处沿图示方向的线应变ε30°=1.433×10-4。已知杆直径d=10 mm,材料的弹性常数E=200 GPa、泊松比μ=0.3。试求载荷F和Me。若其许用应力[σ]=160 MPa,试按第四度理论校核杆的强度。

题8.4.6图

※题8.4.7 如图所示,铸铁制成的构件上某些点处可能为图(a)、(b)、(c)所示的3种应力状态。已知铸铁的拉伸与压缩强度极限分别为σtb=52 MPa,σcb=124 MPa。试按莫尔强度理论确定3种应力状态中σ0为何值时材料发生失效。

题8.4.7图