直接设计法：原理、应用与优缺点

直接设计方法是依据物像投影关系模型,建立光线追迹的路径,从而依据光线逐点直接求解构建出自由曲面面型。由于光学自由曲面的复杂性以及特殊性,目前尚没有一种普适的自由曲面初始结构的直接设计方法。现有的直接设计法,通常归类为以下4种。

11.2.3.1　偏微分方程法

偏微分方程法(Wasserman-Wolf,W-W)是根据入射光线、出射光线和曲面法线三者之间的矢量关系,并结合理想的物像关系,建立偏微分方程组,求解获得自由曲面的初始面型参数。图11-6所示的自由曲面面型分别作为折射面和反射面,以该两种类型的求解为例,某根光线从点S出射,经曲面z=f(x,y)上的点P偏折后射向点E,入射和出射方向的单位矢量分别为r和r′,n和n′是两侧介质的折射率,N为P点处的单位法向矢量。根据微分几何关系式,曲面上某一点处的法向量可以根据该点处的矢高关于位置坐标的导数计算得到。由此建立微分方程组,再通过数值计算得到曲面上每一点的坐标并拟合得到待求曲面。G.DWasserman和E.Wolf于1949年提出Wasserman-Wolf微分方程,最初是用于中心对称系统,且只限于相邻两个非球面的求解。1957年,E.Vaskas提出改进的Wasserman-Wolf方法,两个非球面可以不相邻。2002年,D.J.Knapp对非旋转对称系统的校正板设计进行了研究,在没有旋转对称的前提下,使用两个新的微分方程完成两个曲面面型的消球差设计。

图11-6　W asserman-W olf微分法示意图

(a)折射面;(b)反射面

美国德雷塞尔大学的Andrew Hicks基于反射定律,并结合自由曲面反射镜和像面的对应关系,构建了一阶微分方程组,求解后得到一个如图11-7(a)所示的自由曲面反射镜面型,并结合小视场的成像物镜,设计得到一个广角镜头,实现了大视场成像系统的畸变校正。他又根据该方法设计了如图11-7(b)所示的45°大视场、低畸变的汽车侧边后视镜。该自由曲面反射镜与传统的平面或球面侧边后视镜相比,有效增大了汽车驾驶员的视野范围;并继续设计得到了如图11-7(c)所示的两个嵌套反射式自由曲面系统,这一对镜片可以为观察者提供全景视图。北京理工大学的王涌天团队采用偏微分方程法,设计了如图11-7(d)所示的离轴自由曲面棱镜式头戴显示系统,该系统视场为20°,出瞳8mm,有效焦距15mm。浙江大学侯佳等人将偏微分方程法用于成像畸变的校正,设计得到如图11-7(e)所示的校正曲面成像畸变的自由曲面透镜,它可以按照要求改变每个视场的像点位置。

图11-7　偏微分方程法的应用

(a)自由曲面反射镜;(b)大视场汽车后视镜;(c)嵌套反射式自由曲面系统;(d)头戴显示系统;(e)自由曲面透镜设计

偏微分方程法是一种设计自由曲面的通用方法,根据不同的设计参数,建立的微分方程的形式也不同。这种经典的方法只考虑了对每个视场的单根主光线进行控制,能够有效地控制畸变与细光束场曲,但没有考虑主光线周围一定孔径光束对应的像差校正,求解的初始结构存在孔径像差的校正缺陷与局限。

11.2.3.2　多曲面同步设计法

1990年,美国的LPI(Light Prescriptions Innovations)公司提出了多曲面同步设计法(SimultaneousMultiple Surface,SMS),又称等光程法,图11-8为采用SMS方法同步设计单片透镜前后两个表面的原理示意图。该方法最初用于非成像光学系统的设计,后来又被用于成像光学系统的设计。

图11-8　多曲面同步设计法示意图

根据入射光线矢量、出射光线矢量以及自由曲面法向矢量之间的关系,基于费马原理和折射定律,依次求解自由曲面上的离散数据点,再拟合得到自由曲面的初始面型。SMS法可以同时计算多于两个的待求曲面,曲面个数由采用的视场个数决定,即对两个视场点计算,需要两个自由曲面,对四个视场点计算,需要四个自由曲面,依此类推。

2009年,西班牙马德里理工大学的J.C.Miñano和P.Benítez等人继续改进和发展同步多重曲面法的设计策略,同时实现四个光学表面的设计,设计效果如图11-9(a)所示,并用于超短距投影系统。布鲁塞尔自由大学的Fabian Duerr等人在SMS法的基础上,利用费马原理,改进原方法中两个视场点计算需要两个自由曲面的限制,发展为两个自由曲面耦合三个视场点的自由曲面设计方法,如图11-9(b)所示。布鲁塞尔自由大学的Yunfeng Nie等人借助SMS法的设计思路,拓展多视场的自由曲面逐点设计方法,可以实现整个视场内像质的平衡,成功地设计了同轴和离轴两种结构形式自由曲面成像系统的初始结构。(www.xing528.com)

图11-9　多曲面同步设计法的设计应用

(a)四个光学面型;(b)三个视场点下的两个自由曲面

目前,SMS法已经相对成熟,但是该方法在设计中使用的视场数量有限,初始结构的三维自由曲面拟合精度受到离散点数据量的限制。目前该方法只适用于同轴线视场系统,且求解过程十分复杂,不利于实际应用。

11.2.3.3　逐点—构建迭代法

2014年,清华大学的朱钧课题组提出一种基于逐点构建与迭代的自由曲面二维成像系统设计方法(CI-2D),这种方法包括逐点构建和迭代两个过程。在逐点构建设计之前,先建立一个仅由无光焦度的离轴倾斜平面或简单曲面构成的系统作为设计的起点,如图11-10(a)所示。构建过程主要分为三步:①在极坐标系下对光瞳进行采样,采样多个视场和不同光瞳坐标的光线;②确定待求曲面前后两个表面的信息,将采样光线与前表面的交点作为光线的起点,与后表面的交点作为光线的终点,通过反射定律逐点计算自由曲面上点云数据的坐标及法向量,如图11-11(a)所示;③对未知面上数据点的坐标和法向量进行拟合,实现自由曲面的构建。在求取点云数据的过程中,每个数据点都是通过计算采样光线与最近数据点的切线的交点得到的,当完成所有光线的计算时,便获得了所有离散数据点的信息。根据上述步骤计算得到的自由曲面,光线与计算曲面的交点和期望的目标点之间通常存在较大偏差。因而,为了减小特征光线与目标面的交点和理想目标点之间的偏差,在这种方法构建面型的基础上引入迭代过程,将直接构建设计法得到的自由曲面作为下一次迭代的初始曲面,有效提升了像质,收敛效果明显,如图11-10(b)所示。该课题组应用该方法设计了一个子午面内视场8°,入瞳直径6mm的反射式f-θ线视场扫描系,扫描误差小于1μm,像面上的光斑大小随迭代次数增加快速收敛到衍射极限范围以内。

图11-10　CI-2D法原理示意图

(a)设计起点及特征光线采样;(b)曲面的构建和迭代

2016年,该课题组将这种方法拓展到三维空间。求取自由曲面初始结构时,依然选取全视场与全孔径的特征光线进行计算,称为C-3D法。在三维空间中,对离散点云的求取方法作了改进,在逐点求解的过程中,每个待求特征数据点是该点对应的特征光线与和该数据点在三维空间内最接近的、已求得的数据点切平面的交点,如图11-11(b)所示。并根据该方法设计了小F数,面视场为8°×9°的离轴三反光学系统。

图11-11　特征光线的选取和特征点的计算示意图

(a)CI-2D法;(b)CI-3D法

对于某些系统形式,通过C-3D法构建的系统像质与理想情况偏差较大,同样,引入迭代来大幅提高系统像质,简称为CI-3D方法。迭代过程中,每一轮迭代都要重新计算待求自由曲面。生成某个曲面时,直接将特征光线与本轮迭代中待求曲面对应的初始曲面的交点作为特征数据点,且保留坐标数据,重新求解每个点处的法向量,再拟合得到新的自由曲面。该课题组基于该方法做了一系列的应用研究。设计了主、三镜一体、次镜为平面反射镜的面视场、小F数自由曲面离轴反射式系统,有效降低了装调难度。设计了线视场,小F数,带有实出瞳的自由曲面离轴红外系统,该系统采用一种“分步式”设计方法,重点考虑实出瞳前面一个面,此面与其他曲面分开设计,通过重复迭代,减小由于该曲面在求解前后不一致引起的出瞳像差和畸变。

在逐点构建-迭代思路的基础上,2017年北京理工大学杨通等提出了基于神经网络机器学习生成自由曲面离轴反射系统初始结构的设计方法。基于这种设计方法,可以针对某一种结构类型,在可选取的系统参数范围内(视场角、入瞳直径等)生成大量系统参数的排列组合。基于机器学习的方法对神经网络进行训练,根据给定的系统参数与结构的要求,可实现从无光焦度的简单平面到高像质自由曲面成像系统初始结构的快速建模。

逐点构建—迭代的方法是基于平面或简单曲面作为初始结构,按照物像关系追迹特征光线,拟合离散数据点云的坐标和法向量数据,通过构建和迭代两个过程获得自由曲面系统的初始结构。这种方法构建的自由曲面面型与初始平面或曲面差距较大,且平面初始结构与光学系统几何特性以及像差校正关联性不大,迭代构建过程相对耗时较多。