培养初中生的数学建模思想的有效策略

（一）提高学生认知成分关于数学建模的各项能力

1.加强学生问题表征的能力

弗赖登塔尔认为，学生学习数学实际上是一种数学化的过程，数学化就是一种由将实际问题转化成数学问题，对具体问题进行抽象的过程。学生在进行数学建模过程中所经历的建立模型就是数学化的过程。弗赖登塔尔认为，数学的整体结构存在于现实之中。数学只有与实际密切联系才有着各种关系，才能够将数学知识与现实相结合。他认为，数学的教学应该基于学生的数学现实，因此在进行数建模教学可以从以下几个方面来加强学生的数学知识与生活实际问题的关联能力：

首先，在刚开始进行数学建模教学时，选择的数学模型的内容与教材内容、学生生活中接触过的问题比较接近，才不会让学生感觉到数学建模是很神秘和高深的内容，才能使学生在学习数学中运用数学化。其次，不应当局限于学生当前“数学现实”水平，应该认识到学生具有不断发展的潜能，因此在平常的教学中，应该多引进一些生活现实，不断丰富学生的“数学现实”。最后，不仅要培养学生将现实问题数学化的能力，同时应该重视培养学生如何将数学知识应用于实际问题的能力。也就是当我们提到一个数学模型的时候，学生能够联想到这类数学模型可以应用于解决哪些实际问题情景中。

2.培养学生建立条件信息间的逻辑关系的能力

我们认为，在表征的过程中如果采用问题模型表征策略，更有利于学生数学建模，问题模型策略是当学生面对数学应用题时，先试图理解问题情景，再根据问题情景制订计划，其强调的是理解条件之间的关系。我们认为，可以通过加强学生对条件之间逻辑关系建立的训练，促进学生问题模型表征策略的发展，具体可以从以下几方面入手：

首先，培养学生的数学语言能力。数学是一门由文字语言、符号语言和图形语言融为一体的学科。数学的语言可以有效地沟通数学内部世界与外部世界，在数学建模中我们需要用到应用数学的语言来刻画实际问题的关系，因此我们应该丰富学生的数学语言。但是数学这门学科的逻辑性强，思维步骤严谨，它的语言也相应具有严谨、精确、精炼的特点，培养学生良好的阅读兴趣，一方面可以增强学生理解数学语言的能力，另一方面有助于帮助学生更完整地搭建数学空间，拓宽他们的思维，使他们了解数学与生活以及其他学科之间的关联。

其次，培养学生良好的阅读习惯。具体有以下几点：第一，合理安排阅读时间。在传统观念里，似乎只有文科类的科目需要阅读，而数学学习更加注重动手演算，在实际学习中，学生留给数学阅读的时间很少。因此，教师在教学过程中应组织学生合理安排阅读时间，养成主动阅读的良好习惯。第二，选择适合学生年龄特征的数学读物，教师向学生推荐的读物应具有尽可能地贴近学生的生活实际或者尽可能地贴近教材的内容，并且具有较强的趣味性、逻辑性，使学生不会觉得枯燥乏味又能从中获取一些数学知识经验。第三，培养学生在阅读后进行数学交流的习惯。初中阶段的数学教学，注重培养学生在学习中进行合作交流的能力。学生在阅读后进行数学交流，一方面有利于促进学生对自己阅读过程中获得的信息进行整合，另一方面学生在交流过程中能够发现别人的问题的不同看法以及对信息不同的处理方式，从而提高自身对信息处理的能力。

最后，教授学生对所提取信息进行处理的技巧。为了提高学生对信息的整合能力，教师应该传授一些信息处理的技巧。

第一，教授给学生选择关键信息的方法。在每一个问题情景中都存在着一些关键信息。比如，书店老板去批发市场买某种图书，第一批购书用了100元，按定价每本2.8元售出。由于该书畅销，第二次购书时每本批发价比第一本高了0.5元，用了150元购书，数量比第一次多10本，但这批书售出五分之四时出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书，试问该书店的老板第二次售书是赚了还是赔了？这个问题情景的关键信息包括：书的批发价、批发数量、定价、售价、成本、利润等。

第二，教授给学生如何获取自己想要的信息的途径。数学建模题中所给的信息常常是不完整的，有些信息需要学生自己获取后，解题才能继续顺利进行。比如，建模测试题中题目中并没有给出小包纸巾的具体尺寸，那么在后面求最小表面积的时候就遇到了障碍。因此，教师有必要教授给学生一些信息获取的途径，主要有以下几种：一是自己动手收集。学生遇到的建模题往往是发生在学生身边的实际问题，因此学生可以通过动手去收集从而获取自己需要的信息；二是通过计算机网络搜索；三是向相关的专家、工作人员咨询；四是合理的假设。例如，在测试卷有一个学生并没有直接测量小包纸巾的具体尺寸，而是通过假设各个面的大小来进行比较，当然这种方法可能导致结果不精确。

第三，教授给学生一些整理信息的方法。直接表征策略与问题模型策略之间的重要区别在于学生能否在条件之间建立逻辑关系，因此在学生获取信息后理顺各种复杂的关系显得尤为重要。为此，教师有必要教授给学生一些处理信息的方法：一是根据所获取的关键词对信息进行分类；二是利用表格对分类后的信息做一个梳理；三是根据整理后的信息，建立起各条件信息之间的关系网络。

3.提高学生的数学概括能力，促进模型的模式识别

著名学者笛卡尔认为，人们所解决的每一个问题都可以当作一种模式，可以用来解决其他的问题。结合迁移的理论，就是已经掌握的知识和经验可以对其他活动产生影响。对于数学建模活动而言，就是学生曾经接触过的建模活动经验对当前建模活动的影响。蔡金法认为，任何学习的迁移都离不开概括，概括是迁移的基础，概括性越强，迁移范围就越广。因此，可以在建模教学中有意识地培养学生对所建模型的类型进行概括，从而促进学生在下次遇到类似题型的时候能够快速搜索出解决该类题型的模式。提高学生模型的概括能力，可以从以下几方面入手：

首先，在刚开始进行数学建模教学时，可以先由教师示范，师生共同合作完成整个建模过程，从而让学生体会整个数学模型的形成过程。由于数学模型是用数学的思想、方法来刻画现实世界中的问题，因此具有高度的抽象性，只有让学生经历从具体的问题到抽象的数学模型的形成过程，才能使得学生对所建立的抽象的数学模型和具体的生活实际问题对应起来。

其次，采取变式教学，使学生辨别所建立数学模型的本质关系，忽略不重要的关系。当师生共同经历了由建立数学模型解决一个实际问题之后，可以变化情景问题中的条件，尝试让学生独立地建立模型。例如，在学生建立“将10包纸巾进行怎样打包最节省材料”的数学模型之后，可以将情景问题中10包纸巾变成12包，求最节省材料的打包方式。让学生独立去建立模型，思考是否能够找到一个更一般的处理此类问题的程序，以便引导学生能够概括出解决相同一类问题的通用方法。

最后，当学生积累了一定的数学建模经验之后，可以引导学生采取不同的分类方法对所有的建模类型做一个分类，可以根据统一个模型可以应用于几种不同的问题情景中进行分类。比如，当学生经历过“电梯的设计”“公交车的调度”等建模活动之后，就可以把它们归为排队类的问题；也可以根据一个情境中可以采取几种不同的模型的问题做一个归纳，如“鸡兔同笼”问题可以采用算术模型、方程（方程组）模型、表格模型等几种模型进行求解。

4.提高学生的数学建模自我监控能力(www.xing528.com)

数学建模的自我监控能力，是指对数学建模的活动当作监控对象，对整个活动过程进行主动性的计划、检验、调节、管理，从而达到建模目的，主要包括以下四个方面：第一，在整个建模活动中对建模活动的思维方向进行监控，指对待解决问题的价值、建模时思维的难度，以及解决问题的思维指向是否恰当做出评估和判断。第二，对数学建模活动的进程进行监控，能够排除不相关信息误导，坚持正确的解题思路，并及时纠正建模过程中错误的思维，对整个思维过程进行监控。第三，对建模活动时所采取的建模策略进行监控，学者李明振提出的关于数学建模一般认知过程理论，可以得出结论：数学建模的自我监控在问题表征策略、模型求解策略的选择与生成、模型建立策略上都有着重要作用。第四，对所建立模型是否能够解决现实情境的问题做出估计与评价。

数学建模自我监控属于元认知范畴的概念，是元认知理论中元认知自我监控在数学建模活动中的具体应用。提高学生的数学建模自我监控能力，可以以提高学生的元认知水平为出发点，并在结合具体的建模活动中，提高学生的数学建模自我监控能力。具体包括以下几点：

第一，向学生讲授关于元认知理论的知识，包括元认知知识、体验、监控等方面的知识。元认知知识，是指个体对认知活动的过程、影响因素的认识，包含对认知个体、任务、策略的知识，在学习中表现为个体对自己学习的能力、学习的特点、学习的方式、学习的兴趣、学习的习惯等认知。元认知体验，指个体在认知活动过程中的情感体验，包括知的情感体验和不知的情感体验，在认知活动过程中表现为：在认知前意识到认知任务的难度、性质以及其价值；在认知活动进行时会因认知进程受阻而感到烦躁，或者因顺利进行认知而感到轻松；在认知活动结束时，会因活动顺利完成而产生喜悦和自我效能感，或者因活动受到阻碍而产生的焦虑、困惑以及无力感等。元认知自我监控，指主体在进行认知活动的过程中将认知活动作为意识的对象，计划、检验、调节与管理，从而实现建模目标的活动。在认知活动过程中，元认知的三个成分是相互作用的，它们共同实现了对认知活动的监控与调节过程。教师应在教学过程中对学生进行元认知理论的教授，当学生对元认知理论有了一定的了解，才能引起学生对提高自身元认知的重视。

第二，学生在数学建模活动的过程中培养学生的自我监控能力。学习了元认知理论，在进行数学建模活动时，可以引导学生利用自我监控能力来调节自己的认知活动。首先，教师在刚开始组织学生进行建模活动的过程中，应注重对建模思维活动的揭示，帮助学生正确认知自己的建模能力、建模学习的方式、建模策略的掌握水平等；其次，学生在建模过程中产生的成功或失败的体验是很正常的，应尽量调节不好的情绪体验带来的负面影响；最后，在建模后应引导学生正确评价自己的建模成果，应该让学生在建模过程中体会到解决问题的乐趣，并认真总结经验。

（二）在课堂教学中提高学生数学建模能力

通过在课堂教学来培养学生的数学建模能力，主要是从数学建模在课堂的实施途径、教师角色的转变等角度来分析。

1.合理的课堂实施形式

根据在中学实施数学建模的性质以及数学建模的培养目标，笔者认为在中学实施数学建模活动可以采取以下两种形式：

第一种，在正常教学过程中加入数学建模教学环节。在中学实施数学建模活动并不能脱离学生对数学知识的理解和掌握，学生只有具备了扎实的基础知识，才有可能将这些知识应用于解决实际问题中。数学建模活动并不需要脱离教材另辟蹊径，反而应该把数学建模活动与教材基本知识与基本技能的学习结合起来，这种结合体现的是“源”与“流”的结合。所谓“源”，就是在教学过程中应注重采用启发式教学法，帮助学生在自己原有知识经验的基础上构建新的知识，使其更加深刻体会到知识是如何产生以及发展的；所谓“流”，就是通过数学建模活动的教学，使学生意识到在实际问题中是如何应用这些知识的，从而体验到成功应用知识解决实际问题的乐趣，促进学生更加深入地学习。

第二种，开展课题学习形式的数学建模课外学习活动。在中学进行数学建模教学不能将目标局限于为了补充学生的课外知识量，或者说教会学生解决一些具体的实际问题，更重要的是培养学生的应用数学知识的意识以及积累必要的数学基本活动经验。因此，数学建模应该更加注重学生参与整个活动的过程，把教学活动更自觉地变成学生活动的过程。在活动过程中，学生在教师所创设的问题情景的背景下，独立运用数学解决问题，并在解决问题的过程中深化对数学知识的理解，不断获取必要的数学活动经验，为进一步学习与发展打下扎实的基础。

2.教师角色的转变

数学建模教学不同于传统的课堂，传统的课堂教师总是扮演“讲演者”“正确示范者”的角色，而数学建模教学则更强调学生积极主动参与的过程，整个教学过程转变成学生活动的过程，因此教师能够合理定位自己在这个活动过程中的角色，是整个活动顺利进行的关键因素。笔者认为，教师在数学建模活动过程中主要应扮演以下四个角色：

第一，活动的设计者。数学建模教学作为一种教育活动，必须有一定的目的性与方向性，只有这样，才能使学生在这个活动过程中得到充分的发展。因此，一个好的活动计划显得非常关键，教师作为学生学习的引导者，应扮演好活动设计者这个角色。为此，教师必须统筹好整个活动的各个环节，包括创设适合学生进行的问题情景，预设学生进行活动的方式，学生活动结果的呈现方式，对学生活动过程的评价方式等等。其中，每一个环节都需要教师精心地设计，以使活动能够顺利开展，尽可能地使每个学生都能参与到数学建模活动中。

第二，示范者。在刚开始进行建模教学时，应注重对建模思维活动的揭示，使学生体会到数学建模各个环节的要领，从而对数学建模有一个整体上的把握。当学生尝试开始独立进行数学建模时，教师可以在适当的环节表现事物的开端和“拨乱反正”的思维技能。比如，在上述课例中，当学生得出表面积最小的打包方式时，教师则适时地提出“为什么外面买的纸巾不是这样打包的？”教师适时的提问能够调动学生主动思考的积极性；再如，当学生提出不用算出所列式子的所有面积值时，教师则表现出非常好奇地想知道学生是如何做到的，故作不知，问原因、找漏洞，督促学生弄清楚、说明白。

第三，学习的促进者。学习的促进者可以从两方面来看：一方面是当学生在数学活动过程中碰到障碍寻求帮助时，教师能够根据学生的特点，向不同的学生提供不同的参考信息，但是这些信息必须具有思考价值，而不能直接向学生提供现成的思路和答案。这就要求教师能够充分地了解每个学生的特点，有针对性地帮助学生。另一方面是教师能够主动参与到学生的建模活动过程中，了解学生建模过程中的思维的发展情况，主动与学生交流，在交流中不仅要善于倾听学生的观点，而且也可以适时发表自己的观点，从而促进学生多角度地看待问题。

第四，鉴赏者。教师应鼓励学生将自己的数学建模过程整理成报告、小作文或论文的形式，开展学习交流会、报告会等，通过积极的评价来肯定学生的工作成果和价值，同时提出自己的看法、改进意见等。在交流与评价的过程中，使学生既能够从别人的分享中得到不一样的解决实际问题的方式，很重要的一点是，学生在精心准备与同学分享学习成果的同时，能够提高学生对活动经验的总结与反思，在不断的磨炼中，逐步提高学生数学建模的水平。