制定运算规则：初中数学教学设计与方法研究

数字运算只不过是数学中最简单的一面，由于简单，我们很少思考其中存在的奥秘。实际上，数字运算也能制造出吸引人的花样，你相信吗？

试一试：

写下任何一个四位数，每位数字不完全相同。重新排列每位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大数减去最小数，重复这个过程……

例如：6543-3456=3087，8730-0378=8352，……

将这个过程一遍又一遍地进行下去，你发现了什么？

（注：由于题设的“运算规则”是印度数学家卡布列克（D.R.Kaprekar）提出的。因此，也有人把这个运算规则称为“卡式运算”，6174就称为四位数的卡布列克常数。苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中提到了这个奇妙的四位数6174，并把它列作“没有揭开的秘密”）

做一做：

如果运用同样的规则，用三位数来试试，会得到什么结果呢？你能提出一个类似的猜想吗？

（注：以三位数开始计算会得到495，学生可能会进一步猜想：以两位数、五位数、六位数、七位数开始计算是否也有类似的“循环现象”出现。学生只要有想法就可以，不要深究结论是否成立，这里的猜想目的是想给学生一个预设——我们是否也能建立一个自己的运算规则？）

议一议：

制定自己的运算规则，以不同的三位数开始一遍又一遍地运用你的规则，有趣的事就会发生了。

（注：这里学生面临的任务是“制定自己的运算规则”，对于程度一般的学生，如果没有教师的引导可能会觉得无所适从，建议教师先举一些例子（见解题方案）或者师生共同探索某个运算规则，然后再组织学生小组讨论去完成。示例更便于学生理解教学的意图，学生的讨论可以从此展开，进一步探索。否则，学生可能理解为我们要求他找某个陷阱数，那样难度就大了。不要认为这是件很困难的事情，实践表明：多数学生基本可以在10分钟内完成。但是也不乏有些没有耐心的学生，经过3次、4次运算之后就放弃了，所以总是不能成功。这时，我们要鼓励学生继续做下去，试试看）

想一想：

对于不同的起始数字，反复运用任何一个固定的“运算规则”，由此顺序产生的数字总是会停留在某个或某几个数字上，或者以某种重复的方式循环。你认为会这样吗？这是为什么？

所以，大胆地制定自己的运算规则吧！你一定会获得成功的。

（注：这里要运用的一个基本数学原理是“抽屉原理”。）

由于起始布置的任务是制定得到三位或更少位数字的法则。因为在0到999之间只有1000个整数出现，所以抽屉原理就保证了规则迟早会产生一个数列前面出现过的数字。因此，顺序将会循环——最多也就是运用1000次规则后循环。

抽屉原理也叫鸽巢原理，最早是19世纪德国数学家狄利克雷运用于解数学问题，所以也称为狄利克雷原理。抽屉原理有以下两种形式。

第一种形式：把n+k（k≥1）个物体放进n个抽屉里，一定有一个抽屉里放进了两个或更多的物体。第二种形式：把mn+k（k≥1）个物体放进n个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放进m+1个物体。这一道理只要学生理解即可，其实有些善于思考的学生，也能说出其中的道理，不需要上升到理论角度。

教学效果：出人意料的数字模式可以吸引学生，尤其当学生由自己的研究得出结果时，更令他们兴奋不已。当学生回顾自己前面的做法，并得出：原来不论制定怎样的运算规则都会形成循环时，这个神秘的谜团似乎被解开了。学生需要更多的归纳数学经验来帮助他们形成数学是创造性、动态的学科的看法，我们不能忽视实践、归纳的作用）

试一试：

以任意一个百位数比个位数至少大2的三位数开始，颠倒数位顺序再用大数减去小数得到差，将差的各位颠倒过来再加上差本身，你得到的结果是什么？

为什么会有这样奇妙的事情发生呢？试运用数学的方法，科学地解释其中的道理。

对于程度较好的学生，可以将课题直接给学生，采用小组合作、课堂汇报、展示、交流相结合的形式，为学生提供充分的探索和合作的空间，让他们自己经历将实际问题转化成数学问题并设法求解的过程，从而获得成功的体验。对于确有困难的学生，教师可以将课题分解成一个个小问题：明确数学问题，列举数字归纳验证，代数法验证。

归纳论证：

如果我们看了一些例子后注意到百位数a与个位数c的差，那我们就依据归纳论证的数据制得表5-1。

表5-1

我们能发现什么？十位数总是9，个位数与百位数之和总是9。所以减后的差是x9y，其中x+y=9。如果我们颠倒个位再相加，即得

代数论证：

设三位数abc，其中a≥c+2。颠倒数位并相减得

记住a＞c，所以我们应该错位，因为（a-1-c）不为零，所以需要a＞c+2。十位数化简后得9，现在把差各位颠倒后相加得

化简后和为1089。）

议一议：

当我们解决1089难题时，可能想到要提出许多新的问题。

假设我们以一个两位数开始，如果规定十位数与个位数至少相差2，你能预测结果吗？试试看。

（假设我们以一个两位数开始。如果我们规定两个位数至少相差2，那就总会得到99，其实，如果十位数只比个位数大1，例如，

我们同样能得到99）

如果我们用一个四位数，比如abcd，看看会得到什么结果？想想是什么原因造成的？适当改变运算规则，使你的结果变得“完美”。

（如果我们用一个四位数，比如abcd，根据起始时各个数位上数的关系不同，我们得到的结果是：

如果a=d且b=c（一个回文数）　得到0

如果a=d且b＞c　得到990（颠倒完整的四位数时包括0）

如果a＞d且b=c　得到10989

如果a＞d且b＞c　得到10890

如果a＞d且b＜c　得到9999

从各方面来说，解答并不“完美”。实际上，我们会发现三位数的例子中十位数总是9且百位数与个位数和为9。这个过程引发我们反思颠倒各位意味着什么。在三位数的例子中，如果我们颠倒abc各位，得cba，中间位保持不变。如果我们颠倒一个四位数abcd，也是中间位保持不变，得dbca，也就是我们只交换靠外边的两位。即如果我们定义颠倒数位就是互换外边的两位，会得到什么结果？例如：

在这个定义下，我们得到的结果是10989，并且在第一个差后即有可预测的方式。这个方式与三位数的方式相同。）

如果将数位个数扩展至五位数以上呢？

（如果我们将数位个数扩展至五位数，在新的颠倒数位定义下，我们得到了109989。例如：

这些方式可推广到任何个数的数位）

比较以上你得到的所有结果，你会发现一些有趣的事。

（参考结果：

从上表至少应该可以发现，x+y=9，且x比外边两位上数之差小1。在差及和中9的个数随着数位的增加而增加，且我们可以预言它们出现的次数。在和之间出现两个有趣的关系，一个把99作为其因数，另一个把9作为其因数）

想一想：

通过前面的探索我们已经认识到，对于已有结论的修正可以为产生新问题，得到新结论，提供潜在的可能。你能进一步提出新的问题吗？并尝试解决它。

（在指导学生提出新问题时，我们首先应该引导学生辨清此问题的属性：用到了三位数；百位数至少比个位数大2；这个数是从十进制出现的；数位被颠倒了；操作是先减后加。可以就这几方面提出新问题：如果百位数不比个位数至少大2将怎样？结果如下：

如果a=c（一个回文数），得到0；如果a=c-1，得到-198或-1089；如果a=c-2，得到-1089。

如果操作是先加后减，结果会怎样？

规则变为：以任意一个百位数比个位数至少大2的三位数开始，颠倒数位顺序将两数相加，（如某位数相加的和大于9，将个位和十位相加得一位数。然后你会发现制定其他运算也可以将差的各位颠倒过来再相减，差一定是0。

如果数字不是十进制的将怎样？）

（一）内容与学生状况分析

1.本课题学习的内容重心

运算是数学中最基本的能力之一，可以说学生认识数学是从运算开始的，并且在今后的学习中不断地从事这样的工作，在大多数学生眼里，它是数学中最简单、最枯燥的，所以不屑于从事数字运算。这节课试图通过对数字运算的探索，让学生领略到它迷人的一面。在知识准备上，学生已掌握了四则运算方法及整式的运算，为本课题实施时制定运算规则、进行归纳验证和代数验证提供了前提条件；在理解能力和推理能力上，初中生已经可以理解简单的“抽屉原理”，为解决问题提供了理论保证。

2.本课题学习的活动重心

操作层面上，包括收集数据、列表、运算；抽象思维方面，包括符号表示、代数验证；合作交流方面，有运算规则的得出及理论依据的探讨、反思解决问题的过程并进一步运用于结论的推广。

（二）教学目标

1.学生学习目标(www.xing528.com)

（1）经历实验、观察、猜想、验证、修正、证明等数学活动过程，增强问题意识和自主性，获得探索和发现的体验。

（2）在实验及验证过程中，综合运用所学的运算知识，形成对数学运算整体性的认识。

（3）在探究过程中，领会研究问题的策略和方法。

（4）通过尝试借助已有的信息去推断事物变化趋势的活动，发展学生的推理能力。在合作交流中扩展思路，经过反思积累数学活动经验。

2.基本要求

（1）会依据规则得出6174、495和1089，并在交流合作的基础上，制定出自己的运算规则，获得成功的体验。

（2）能依据结论进一步提出1～2个新的问题将结论进行推广，初步学习解决问题的方法。

3.教学活动目标

组织学生自主探索如何利用给定运算规则，经历产生6174、1089的过程，小组合作制定自己的运算规则，并获得成功的体验；引导学生探索1089产生的数学原理，学习如何在已有结论的基础上进一步产生新问题得到新结论的思考方式，同时引导学生对学习活动过程进行反思，及时地总结方法。

（三）教学建议

1.总的建议

本课题学习以制定运算规则为背景素材展开，在内容设计上为学生自主探索留有较大空间，充满悬念，很符合学生的“口味”，他们不仅乐意去做，而且还能获得成功的体验。设计活动时，教师要鼓励学生主动参与，大胆猜想，科学验证，在独立思考、合作交流中，经历研究一个数学问题的过程，提炼数学思想方法。在评价方面更多地关注学生是否经历了探索的过程、交流时的表现（或总结报告中的思考）以及对课题内容的引申和更深层次的认识，并鼓励学生在此过程中积累解决问题的方法。

2.教学活动过程中可能出现的困难

（1）让学生计算6174时，教师可以给学生举个例子，并提示学生要先重排大小再做减法，避免出错，如果仅仅给出法则：写下任何一个四位数，每位数字不全都相等。重新排列每位数字使其组成为一个最大的数和一个最小的数，然后用最大数减去最小数，重复这个过程……有些学生就会无所适从，当然大部分学生还是应该能做到的。

（2）让学生制定自己的运算规则，教师可能会认为是一件很困难的事，事实上，我们只要能够借助实际的例子，为学生解释清楚要求，学生在合作交流的基础上是很快能做出结果的，但也有个别学生得出的循环较长，就会认为自己失败了，这时教师可以鼓励他继续做下去，让学生认识到“只要我去做，就能获得成功”。

（3）在解释“为什么会出现循环现象”时，学生可能会无所适从，我们可以引导一些善于思考的学生大胆地谈谈他们的感受或猜想，然后用通俗易懂的方式为学生讲解，切不可突然拿出抽屉原理来，“原理”两字可能会吓住学生，使他们放弃对问题的理解。

（4）1089难题想作为第2课时的内容，虽然在前面研究的基础上学生已具备了一定的经验，但在内容上也增加了一些难度，要求学生不仅能够自由创意出自己的运算规则，还要科学地解释1089现象发生的数学原理，并且要根据自己得出的结论进一步制定相应的运算规则。如4位数、5位数等，还要纵向比较所有的结果，发现一定的规律，这是课堂的高潮，对学生来说更是一个挑战，当他们穿越了思维的高原后，回头看到了美丽的风景：“原来奇妙的事是这样发生的。”这一过程中教师要根据学生的学习水平做出恰到好处的引导和要求，让不同水平的学生得到不同的发展，而不是要所有的学生必须掌握。

课时安排：2课时。

3.教学活动重心

在本课题的学习活动过程中，首先，关注学生能综合运用各种运算来制定自己的运算规则；其次，关注学生对1089问题的数学解释及在此基础上对已有结论的再推广。总之，教师如能充分调动学生积极性，将问题设置“在学生跳起来可及”的高度，学生就能在主动、积极、好奇、紧张的气氛中进行学习，并开动脑筋，参与到获取知识的思维过程中去，使能力得到发展、素质得到提高。

（四）拓展空间

1.可以从知识方面拓展的内容

如“想一想”中，可以就这几方面提出以下新问题。

（1）如果百位数不比个位数至少大2，结果会怎样？

如果a=c（一个回文数），得到0；如果a=c-1，得到-198或-1089；如果a＜c-2，得到-1089。

（2）如果操作是先加后减，结果会怎样？

规则变为：以任意一个百位数比个位数至少大2的三位数开始，颠倒数位顺序将两数相加，（如某位数相加的和大于9，将个位和十位相加得一位数。然后你会发现制定其他运算也可以）将差的各位颠倒过来再相减，差一定是0。

（3）如果数字不是十进制的，结果将会怎样？

2.一些相应的背景资料

1955年，卡布列克写了一篇文章，题目是“数目6174的有趣性质”；1959年，他又写了另一篇文章，题目是“新常数6174”，卡布列克常数就由此产生。什么叫卡布列克常数？将任一n位不完全相同的数字拆散，然后以由大而小的顺序（相当于降序排列）及由小而大的顺序（相当于升幂排列）重新排列，而组成一n位最大数及n位最小数，再将最大数减去最小数，而得到差，此种运算称为卡布列克运算。

一般地，只要在0、1、2…9中任取四个不全相等的数字组成一个整数k0（不一定是四位数），然后从k0开始不断地做上述变换，得出k1、k2、k3…则必有某个数m（m≤7），使得km=6174。

更一般地，从0、1、2…9中任取n个不全相同的数字组成一个十进制数k0（不一定是n位数），然后，从k0开始不断地做上述变换，得出k1、k2、k3…结果会是怎样的呢？现在已经知道的是：

n=2，只能形成一个循环：（27、45、09、81、63）。例如，取两个数字7与3，连续不断地做上述变换，得出36、27、45、09、81、27、…出现循环。

n=3，只能形成一个循环：（495）。

n=4，只能形成一个循环：（6174）。

n=5，已经发现三个循环：（53855、59994）、（62964、71973、83952、74943）、（63954、61974、82962、75933）。

n=6，已经发现三个循环：（642654…）、（631764…）、（549945…）。

n=7，已经发现一个循环：（8719722…）。

n=8，已经发现四个循环：（63317664）、（97508421）、（83208762…）、（86308632…）。

n=9，已经发现三个循环：（864197532）、（975296421…）、（965296431…）。

可以证明，对于任何自然数，n≥2，连续做上述变换，必定要形成循环。这是因为由n个数字组成的数只有有限个的缘故。但是对于n≥5，循环的个数以及循环的长度（指每个循环中所包含数的个数）尚不清楚，这也是国内一些数学爱好者热衷于研究的一个课题。

本课题解题方案：教师在引导学生制定自己的运算规则时，可参看以下题例。

“制定自己的运算规则”

A规则：写下任何一个三位数，每位数字不全都相同。百位数字乘以个位数字的积作为下一个数的百位数，百位数字乘以十位数字的积作为下一个数的十位数，十位数字乘以个位数字的积作为下一个数的个位数，如果和大于9，将个位和十位相加得个位数。

比如，以832开始：832、766、669、999…

推测：无论你以什么数开始，最终都会得到0或999。

B规则：以任何一个三位数开始。以起始数百位数作为下一个数的十位数，以起始数十位数作为下一个数的个位数，以其个位数作为下一个数的百位数，最后在新的数个位上加2；如果和大于9，只选取和的个位数。

比如，以324开始：324、434、445、546、656、667、768、878、889、980、901、102、212、223、324…

推测：恰好15步之后，你就会得到原来的数了。

C规则：以任何一个三位数开始。如果它是3的倍数，那么除以3得到下一个数。如果它不是3的倍数，那么把各位数相加的和再平方，得到下一个数。

比如，以315开始：315、135、35、64、100、1、1、1…以723开始：723、241、49、169、256、169、256、169、256…

推测：无论选择什么数开始，足够多地运用法则之后结果要么是1，1，1…要么是169，256，169，256…循环。

D规则：任意写一个多位数，计算这个多位数有几个偶数，有几个奇数，是个几位数。然后按顺序写下这三个数组成的一个数，在对这个数仍用这个方法去做。

比如，3672563196420，7613，134，123，123…

推测：总是123。

E规则：任选是一个3的倍数的数，然后把这个数的各个数码分别立方后相加，再把所得之和继续用上述方法去做。

比如，147，1+64+343-408，64+512-576，684，792，1080，513，153，153，153…

推测：总是153。

F规则：以任何一个三位数开始。把这个起始数的百位数字乘以2，得到下一个数的百位数。如果乘2后比9大，那么将两位数字相加得到一位数。照此对起始数的十位数和个位数重复操作得到新的十位数和个位数。

比如，以567开始：567，135，261，432，864，738，567，135，261…

推测：恰好六步以后，你总会再次得到初始数。

……

本课题学习自始至终渗透了探索活动：从学生熟悉的简单运算问题出发，引导他们思考一个个看似简单又具有挑战性的问题，逐步探究出一个个令人惊讶的结论；并探索如何运用所学过的数字运算和整式运算的知识证明结论的正确性。体验“实验—观察—猜想—验证”的解决问题方法，

丰富学生的数学活动经验，发展学生的课题研究能力、反思能力和进一步提出问题的能力。