混凝土断裂力学研究：确定断裂参数的方法

以三点弯曲混凝土梁为例，考虑一个典型的P－δ曲线（即荷载-位移曲线），当荷载达到峰值Pu时相应的挠度为δu，如图5.9所示。整个P－δ曲线可以划分成三个阶段，其中OA段代表弹性阶段，在该阶段P－δ为线性关系；AC段为微裂缝滋生和缓慢发展阶段，在该阶段P－δ曲线呈现非线性特征，也可称为亚临界裂缝发展阶段。曲线剩余部分为峰值荷载后宏观裂缝扩展延伸阶段，因此与临界应力强度因子（即断裂韧度）的计算无关。对于正几何试件如三点弯曲梁，过了峰值荷载后，裂缝处于失稳快速发展阶段。因此，AC段为等效裂缝模型需要关注处理的区域。根据AC段非线性曲线部分处理方式的不同，临界等效裂缝的计算公式也不同，等效裂缝模型的计算包括三种方法。

图5.9　根据P－δ曲线确定ae

1.AC段线性化

首先，对不带缺口的三点弯曲梁跨中挠度的计算公式为

式中，B、D和S分别为三点弯曲梁的宽度、高度和跨度；wg为三点弯曲梁单位长度的自重；ν为泊松比；k为剪切系数，对于矩形截面，k=10（1＋ν）/（12＋11ν）。

第一种方法将AC曲线段简化为AC直线段，这样处理后，AC段将成为线弹性，设A点坐标为（PA，δA），C点坐标为（Pu，δu）。对于初始缺口长度为a0的三点弯曲梁，在AC阶段引入等效弹性模量E*，将其与荷载增量ΔP=Pu－PA和位移增量Δδ=δu－δA的关系表达为

式中，E*为AC段由于裂纹扩展引起的混凝土退化等效弹性模量。

Karihaloo和Nallathambi进一步引入了一个虚拟等效混凝土梁，该虚拟梁的初始裂缝长度为ae，且初始等效弹性模量也为E*。虚拟混凝土梁的初始等效弹性模量表达为

需要注意的是，实际混凝土梁的真实初始裂缝长度为a0，而裂缝发展后AC段才退化为E*。因此，为使具有初始裂缝长度为ae的虚拟等效混凝土梁的等效弹性模量E*与真实初始裂缝长度为a0的混凝土梁AC段广义弹性模量相等，需要根据式（5.32）和式（5.33）以及相应的荷载-位移曲线进行求解。通过对大量数据的回归分析，得到了临界等效裂缝长度的简化回归关系（Nallathambi和Karihaloo，1986）：

式中，β0=3 960.0±120.0，β1=144.0±4.3，β2=－88.2±5.1，β3=8.7±0.7，β4=－3 950.0±120.0；da为骨料的最大粒径；E为混凝土弹性模量。

与线弹性断裂力学《应力强度因子手册》给出的应力强度因子计算式不同的是，考虑裂缝尖端三向应力状态的影响，在求得临界等效裂缝长度ae后，混凝土临界应力强度因子按下式计算：

式中，名义应力并有：

式中，A0=3.6460，A1=－6.7890，A2=39.2400，A3=－76.8200，A4=－74.3300；B0=0.4607，B1=0.0484，B2=－0.0063，B3=0.0003，B4=－0.0059，B5=－0.0003。

2.OC整段线性化

通过有限元计算，对于初始裂缝长度为a0的三点弯曲梁，在OA弹性阶段，荷载P-位移δ（即跨中挠度）计算的回归公式为

式中，λ*为修正系数；ν为泊松比；k为剪切系数，对于矩形截面，在2≤且范围内：η1=1.067，η2=－0.6521，η3=－0.2117，η3=－0.3814，η5=0.0164，η6=－0.0057，η7=－0.0110，η8=－0.0011。

由于将OC整段线性化（图5.6），将Pu和δu代入式（5.38），就可以确定临界等效裂缝ae。为简化计算，研究者（Karihaloo和Nallathambi，1989）还提出了一个经验公式，通过荷载-加载点位移图利用回归分析来计算ae的值：

式中，da是粗骨料的最大尺寸；是相对于Pu（包含自重）下的名义拉伸应力；Mu=（Pu＋0.5wg S）S/4；B1=0.121±0.004，B2=－0.192±0.006，B3=－0.467±0.007，B4=－0.215±0.031。

除了式（5.39），也可以采用下式计算临界等效裂缝长度：

式中，C1=0.249±0.029，C2=－0.120±0.015，C3=－0.643±0.015，C4=－0.217±0.073。(www.xing528.com)

在得到了临界等效裂缝长度后，临界应力强度因子可由下式计算得到：

对比第一种和第二种方法可知，两种方法的不同之处在于临界等效裂缝长度ae的计算方法不同。第一种方法将非线性AC阶段简化为线性，但要想计算临界等效裂缝长度，需要确定A点的位置，即弹性响应的极限点。然而，弹性响应极限点的选取受人为因素影响较大，不同的观察者确定的位置不尽相同，因此，这种方法得出的结果通常有主观性。第二种方法则通过有限元计算方法引入了一个修正系数λ*，考虑了缺口大小对三点弯曲梁跨中挠度的影响，C点可以认为不受主观性影响，避免了第一种方法的离散性。

3.增量法

Karihaloo和Nallathambi（1989a，b）进一步修正了临界等效裂缝长度的计算式。对初始裂缝长度为a0的三点弯曲梁，他们认为任一点的跨中挠度δ可分为两部分：第一部分为不带缺口的三点弯曲梁跨中挠度（故为弹性解），记为δ1；第二部分为初始裂缝引起的附加变形，记为δ2，从带缺口的三点弯曲梁的应力强度因子推导获得δ2的值。

对不带缺口的三点弯曲梁，如上所述，跨中位移为

取混凝土泊松比ν=0.2，则可以转换为

三点弯曲梁Ⅰ型应力强度因子KI与能量释放率U的关系如下：

其中，

式中，是裂缝面上作用的名义拉应力；对或8且0.6的三点弯曲梁，。

结合式（5.44）和式（5.45），积分后可得：

其中，

根据卡氏定理，初始裂缝引起的附加变形δ2为

将名义应力代入式（5.49）后，可得：

因此，OA弹性阶段跨中总位移可表达为

将Pu和δu代入式（5.51）求解，即可得到。 结合大量的试验数据，Karihaloo和Nallathambi（1989a，b）给出了一个简化的拟合表达式来计算临界等效裂缝长度：

式中，γ1=0.088±0.004，γ2=－0.208±0.010，γ3=－0.131±0.011，γ4=0.600±0.092。

应力强度因子可根据下式计算：

式中，。