土的本构模型与广义位势理论的应用

以上单一势面的势函数理论是在主空间本构关系是有势场或有势场的方向的前提条件下建立的，当实际材料不满足这一数学条件时，则单一势面理论是不能表述的，为此，本节进一步利用矢量场理论来建立广义位势理论的多重势面理论[114，115]，该理论主要是通过用线性无关的多个势函数梯度矢量来表述主空间的应力应变关系，然后通过用导数表示的坐标变换方法，把主空间上的本构关系转换为六维空间的应力应变关系，形成以势函数表述的本构关系，其可以统一用于表述弹性本构关系和塑性本构关系，包含了传统的弹性位势理论和塑性位势理论作为其特例，因而是更为广义的位势理论。

3.5.1 全量形式的多重势面理论

我们把主应变=（ε1，ε2，ε3）看作为在主应力空间（σ1，σ2，σ3）上表述的一个3维矢量，假定由试验结果通过数学拟合的方法获得其数学方程：

显然，对三维空间上的一个矢量我们总可以采用3个线性无关的已知矢量来线性地表示→ε，即有：

其中λ1、λ2、λ3为3个待定系数，可由式（3.5.1）代入上式解方程组而得到。当我们选取3个线性无关的矢量为3个势函数φ1、φ2、φ3的梯度矢量时，则有：

则有各分量的关系为：

根据以上导数表示的变换关系，由式（3.5.4）建立六维坐标空间的本构关系则为：

当假设（σ1，σ2，σ3）的3个主方向和（ε1，ε2，ε3）的3个主方向相同时，则式（3.5.5）可写为：

把式（3.5.4）代入上式即可得到：

即

反之，也有

ψk（k=1，2，3）为应变空间上其梯度矢量线性无关的3个势函数，则式（3.5.7）和式（3.5.8）即为全量形式的多重势面理论，这种建模理论称其为广义位势理论，λk、μk由主空间上的本构方程来确定。

前面的单一势面理论是多重势面理论的特例，如以式（3.5.1）为例，当式（3.5.1）中ε1，ε2，ε3是一个有势场的3个分量时，则：

同样假定应力和应变的3个主量方向相同时，把式（3.5.9）代入式（3.5.6）即得到前面的单一势面理论：

但此式成立的前提是式（3.5.1）为一个有势场，由数学可知，（ε1，ε2，ε3）是有势场的数学条件是其旋度矢量为零矢量，即：

其他的单一势面理论也可以在特殊条件下由多重势面理论退化而得到。

3.5.2 广义塑性位势理论——多重势面广义塑性理论

按传统弹塑性理论那样，把应变增量dε分解为弹性部分dεe和塑性部分dεp，弹性部分可由弹性本构关系确定，如：

这里主要研究塑性部分的理论。设在主空间上由试验通过数学拟合得到的本构关系为：

则弹塑性本构理论的问题是如何建立有限元等数值分析所需的一般坐标空间下的本构方程：

{dσ}、{dε}为一般坐标空间下的6个应力增量分量和6个应变增量分量，[Dep]为六维的弹塑性矩阵。为此，可按照以上建立全量多重势面理论相似的理论方法，把看作为主应力空间上的一个三维矢量，按矢量场理论，可以用3个线性无关的矢量来线性拟合这一矢量，当选用3个线性无关的势函数梯度矢量来拟合这一矢量时，则有：

即

根据以上导数表示的分解准则有：

把式（3.5.16）代入上式得：

即

则式（3.5.18）即为应力空间上的多重势面理论公式之一。dλk可由式（3.5.13）的3个方程来确定。同理，当假设在应变空间表示时，并假设的3个主方向与εi的3个主方向相同时，同样可得：

ψk为应变空间上其梯度矢量线性无关的势函数。

当采用塑性应力矢量为拟合对象，且假设的3个主方向与应力σi和应变εi的3个主方向相同时，按以上的思想方法，则同样可以得到另两种形式的多重势面理论：

显然，多重势面理论利用数学上的多重势面拟合法来拟合已知结果，其可以适应一般的本构关系，而不像单一势面理论那样只适用于主空间本构关系为有势场的特殊情况，且多重势面理论无需用正交关系去推求塑性势函数的复杂过程，对多重势面中势函数的假定只要求其梯度矢量线性无关，其中最为简单的形式则是取应力张量或应变张量的3个不变量为3个势函数，因而比之单一势面理论，其在势函数确定方面要方便得多。进一步还可以证明，单一势面的塑性位势理论可以看作为多重势面理论的特殊情况，即当塑性应变增量方向或塑性应力增量方向为一有势场方向时的特殊结果。

以上式（3.5.18）～式（3.5.21）也可称为广义塑性位势理论体系，郑颖人院士则把[132，144]式（3.5.18）称之为不考虑主应力轴旋转的广义塑性位势理论，并把这种采用多个塑性势面表述塑性本构方程的塑性力学称为广义塑性力学，以区别于传统塑性力学以单一塑性势面建立塑性本构方程的理论体系。显然，式（3.5.18）只是广义位势理论中应力空间常用的其中一种形式，完整的广义塑性位势理论应包含应力空间和应变空间表述塑性应变增量和塑性应力增量的式（3.5.18）～式（3.5.21）。

3.5.3 多重势面理论的弹塑性本构方程[114]

3.5.3.1 三重势面弹塑性本构方程(www.xing528.com)

像传统弹塑性理论那样，把总应变增量{dε}分解为弹性部分{dεe}和塑性部分{dεp}，即：

其中弹性应变符合弹性本构关系：

[De]为弹性矩阵，则由式（3.5.23）代入式（3.5.22）得：

设三维主空间的塑性本构方程为：

微分式（3.5.25）得：

{dσ}=[dσ1，dσ2，dσ3]T，当式（3.5.26）中fi的σi用一般坐标应力分量表示时，则{dσ}=[dσx，dσy，dσz，dτxy，dτyz，dτzx]T。根据以上的多重势面理论，则有：

写成矩阵形式则为：

在主空间中，则有：

由式（3.5.26）和式（3.5.28）有：

把式（3.5.27）代入式（3.5.24），然后把所得的{dσ}代入式（3.5.29），则可得：

解这3个方程组成的方程组，可求得3个待定系数为[114]：

式中：

Aik为|A|中aik相应的代数余子式，把式（3.5.31）的dλk代入式（3.5.27），然后把其代入式（3.5.24），即得到可用于有限元等值分析所需的多重势面弹塑性本构方程为：

显然，式（3.5.32）的关键是3个塑性状态方程f1，f2，f3，这可以根据真三轴的试验结果，用数学拟合法求得，而f1、f2、f3与应力路径有关，则试验时要相应考虑。而3个势函数φ1，φ2，φ3则在要求其梯度矢量线性无关的条件下，可任意假定。最简单的则是直接取3个应力不变量作为3个势函数，如取φ1=σ1，φ2=σ2，φ3=σ3，或φ1=p，φ2=q，φ3=θ，或取φ1=I1，φ2=I2，φ3=I3（I1，I2，I3）为3个应力不变量），因此，多重势面模型是比较方便的，且数学原理很明确。

3.5.3.2 常规三轴试验条件下的双重势面模型

在常规三轴试验条件下，忽略了π平面上的影响，只能得到二维空间的应力—应变关系，通常表示为（p，q）和（εv，ε）的关系。因此，对常规三轴试验的结果，可以把它看作为一个二维矢量。对两个塑性应变增量分量组成的矢量，可以用两个线性无关的势函数梯度矢量来完全地表示出来。设应力空间中的两个势函数分别为φ1（p，q）、φ2（p，q），令与p轴与q轴一致，则由矢量理论有：

式中：dλ1，dλ2为两个待定系数，可由数学拟合试验结果所得的两个塑性状态方程

来确定，微分上式得：

代入式（3.5.33），则得：

当势函数仅为p，q的函数时，由式（3.5.27）得：

上式可写成：

由式（3.5.33）代入得：

用矩阵表示为：

由式（3.5.39）代入式（3.5.24），再代入式（3.5.36），则得到：

或简记为：

其中：系数a11，a12，a21，a22，{b1}T，{b2}T可由式（3.5.41）和式（3.5.40）相比较得到，解式（3.5.41），可得：

式中：

由式（3.5.42）代回式（3.5.39），再代回式（3.5.44），则得：

或简记为：

[Dep]可比较式（3.5.44）和式（3.5.43）而得，此即为可直接用于有限元等数值分析的弹塑性本构关系，[Dep]即为弹塑性矩阵。实际中，若已知弹性矩阵[De]，并通过常规三轴的试验结果求得了塑性状态方程式（3.5.34），然后假定两个其梯度矢量线性无关的任意势函数φ1，φ2，则可以由以上各式求得[Dep]，φ1，φ2的最简单形式为取φ1=p，φ2=q。

具体利用多重势面理论建立简化的弹塑性模型将在第五章中详述。