数学文化中的默比乌斯带与埃歇尔的画

默比乌斯带是纯粹数学研究的产物，它只有一个面且具有连续边缘。你可以通过下述方式来做出这个不同寻常的模型：取一条纸带，将其中的一端扭转180°，然后与纸带的另一端粘连。一只蚂蚁可以从该曲面上的任意一点爬到另一任意点，而不必跨越边缘。德国19世纪数学家默比乌斯（Mobius）第一次应用这种带子是为了表明拓扑学上的一些观点。

埃歇尔这位当代艺术家则在一种“应用”意义上使用了默比乌斯带。埃歇尔是在与一位英国数学家的一次偶然相见之后，才开始注意默比乌斯带的，因为它激励埃歇尔根据默比乌斯的基本图案创作了3幅作品。《默比乌斯带》（图8－7）就是埃歇尔非常著名的作品。

如果在这条带子的纵向中央将其一剪为二，带子不会分开，仍然只有一条，只是长了许多而已。但是，如果我们沿着距纸带一条边1／3的直线纵向剪开一个默比乌斯带，便得到两个缠绕在一起的环；一个是真正的默比乌斯带，另一个是有两个半纽结的二面环！难怪默比乌斯带已成为能够想到的最诱人的数学创造物之一，一种其秘密完全隐藏在其缠绕的表面之后的几何魔术成果。

图8－7 《默比乌斯带》(www.xing528.com)

由于埃歇尔爱好怪诞的图案，所以他的作品中充满了生命：大蚂蚁沿着一个默比乌斯带状的梯子的一面往前爬，结果只发现它们在一个无尽的循环中走到“另一个”面（图8－7）；还有一个由正好互为镜像的两组（黄色和灰色）骑马人组成的队列，这两组骑马人沿着一条扭曲的环形带的两个面朝相反方向行进（图8－8），这不是一个真正的默比乌斯带，因为它有两个面和两条边；事实上，当沿着中心线纵向剪开默比乌斯带时，得到的东西就是它。将矩形带扭转360°之后把其端点连接起来，也可以得到它。为了增加复杂性，埃歇尔“骑士图”中的带子在图画的中心连接起来，从而接通了两个分开的面，使其两组马能够相遇。埃歇尔是一个天才，他擅长刻画生活中模棱两可或出乎意料的事情，他在默比乌斯带中，为其艺术创作才能找到了一片沃土。

图8－8 《默比乌斯带》

在科学幻想故事《一列名叫默比乌斯的地铁》中，故事情节围绕一列从波士顿地铁系统中神秘消失的第86号列车而展开。这个地铁系统前一天才举行通车仪式，但是现在第86号列车却消失了，什么痕迹也没有留下。事实上，很多人都报告说他们听到了列车在他们的正上方或正下方飞驰的声音，但是谁也没有真正地看到过它。当确定这列火车位置的所有努力都失败之后，哈佛的数学家罗杰·图佩罗给交通中心打电话，并提出了一个惊人的理论：这个地铁系统非常复杂，它可能变成了一个单面曲面（默比乌斯带）的一部分，而那列在当时丢失的火车可能正在这条带子的“另一个”面上跑它的正常路线。面对极度惊愕的市政官员，他耐心地解释了这种系统的拓扑奇异性。在经过一段时间——确切地说是10星期之后，这列丢失的列车又重新出现了，它的乘客都安然无恙，只是有一点累。