如何评估估计量-《概率统计及其应用》

对于同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同，用相同的方法也可能得到不同的估计量，也就是说，同一参数可能具有多种估计量.而且，原则上讲，其中的任何统计量都可以作为未知参数的估计量，那么采用哪一个估计量为好呢？这就涉及估计量的评价问题，而判断估计量好坏的标准是：有无系统偏差；波动性的大小；伴随样本容量的增大是否越来越精确.这就是估计的无偏性、有效性和一致性.

1.无偏性

设是未知参数θ的估计量，则是一个随机变量，对于不同的样本值就会得到不同的估计值.我们总希望估计值在θ的真实值左右徘徊，而若其数学期望恰等于θ的真实值，这就符合了无偏性这个标准.

定义1 设是未知参数θ的估计量，若存在，且对任意有，则称是θ的无偏估计量，称具有无偏性.

在科学技术中，称为以作为θ的估计的系统误差，无偏估计的实际意义就是无系统误差.

例10 设总体X的k阶中心矩μk=E（Xk）（k≥1）存在，X1，X2，…，Xn是X的一个样本，证明：不论X服从什么分布，是μk的无偏估计量.

证明 因为X1，X2，…，Xn与X同分布，所以，i=1，2，…，n，.特别地，不论X服从什么分布，只要E（X）存在，总是E（X）的无偏估计.

例11 设总体X～P（λ），X1，X2，…，Xn是X的一个样本，S2为样本方差，0≤α≤1，证明是参数λ的无偏估计量.

因此，估计量是λ的无偏估计量.

例12 设总体X的E（X）=μ，D（X）=σ2都存在，且σ2>0，若μ，σ2均为未知，则σ2的估计量是有偏的.

若在σ^2的两边同时乘以，则所得到的估计量就是无偏的.

而恰恰就是样本方差.

可见，S2可以作为σ2的估计量，而且是无偏估计量.因此，常用S2作为方差σ2的估计量.从无偏的角度考虑，S2比σ2作为的估计好.

在实际应用中，对整个系统（整个实验）而言无系统偏差，就一次试验来讲可能偏大也可能偏小，实质上并说明不了什么问题，只是平均来说它没有偏差.无偏性只有在大量的重复试验中才能体现出来；无偏估计量只涉及一阶矩（均值），虽然计算简便，但是往往会出现一个参数的无偏估计量有多个，而无法确定哪个估计量好.

例13 设总体X～P（θ），密度为，其中θ>0为未知，又X1，X2，…，Xn是X的一样本，则和nZ=n（min{X1，X2，…，Xn}）都是θ的无偏估计量.

证明 因为，所以是θ的无偏估计，

而Z=min{X1，X2，…，Xn}则服从参数为的指数分布，其密度为

所以.

即n Z是θ的无偏估计.事实上，X1，X2，…，Xn中的每一个均可作为θ的无偏估计.

那么，究竟哪个无偏估计更好、更合理，这就看哪个估计量的观察值更接近真实值，即估计量的观察值更密集地分布在真实值的附近.我们知道，方差反映的是随机变量取值的分散程度.所以无偏估计以方差最小者为最好、最合理.为此引入了估计量的有效性概念.

2.有效性

定义2 设都是θ的无偏估计量，若有，则称有效.若对任意θ的无偏估计都有，则称为θ的最小方差无偏估计.

在例13中，由于D（X）=θ2，因此；又，所以D（n Z）=θ2.当n>1时，显然有，故较n Z有效.

3.一致性（相合性）(www.xing528.com)

无偏性和有效性是在样本容量固定的条件下提出的，我们不但希望一个估计量是无偏的，而且希望是有效的，自然希望伴随样本容量的增大，估计值能稳定于待估参数的真值，为此引入一致性概念.

定义3 设是θ的估计量，若对任意ε>0，有，则称是θ的一致性估计量.

例如：在任何分布中，是E（x）的相合估计；而s2与B2都是D（x）的相合估计.

不过，一致性只有在n相当大时，才能显示其优越性，而在实际中往往很难达到，因此在实际工作中关于估计量的选择要视具体问题而定.

习题5.1

1.设X1，…，Xn是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计和最大似然估计：

（1）X～B（1，p），其中p未知，且0<p<1；

（2）X～E（λ），其中λ未知，λ>0.

2.设X1，…，Xn是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为λ的泊松分布，其中λ未知，λ>0.

（1）求λ的矩估计与最大似然估计；

（2）如有一组样本观测值

求λ的估计值与最大似然估计值.

3.设X1，…，Xn是取自总体X的一个样本，其中X服从区间0，θ（　）的均匀分布，θ>0未知，求θ的矩估计.

4.从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h）：

1 050,1 100,1 130,1 040,1 250,1 300,1 200,1 080

试对这批元件的平均寿命以及分布的标准差给出矩估计.

5.设总体X～U（0，θ），现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为

0.5,1.3,0.6,1.7,2.2,1.2,0.8,1.5,2.0,1.6

试对参数θ给出矩估计.

6.一批产品中含有废品，从中随机地抽取60件，发现废品4件，试用矩估计法估计这批产品的废品率.

7.一地质学家为研究密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数.假设这100次观察相互独立，求这地区石子中石灰石的比例的最大似然估计.该地质学家所得的数据如下：

8.设X1，…，Xn是取自参数为λ的一个泊松分布的简单随机样本，试求λ2的无偏估计.

9.X服从正态分布N 0，1（　），X1，X2是从总体中抽取的一个样本，试验证下面三个估计量都是μ的无偏估计，并指出哪一个估计量最有效.