在各种自然现象和社会现象中，许多变量都有一定的变化规律，在一定条件下，它们的总体分布状况符合或基本符合某种特点的分布形态。人们根据各种分布的理论和方法，去分析和研究各种具体的现象。教育和心理现象的许多变量都服从和基本服从正态分布形态。如学生的学业成绩、学生的智力、学校的教育质量等都基本服从正态分布。
（一）正态分布的概念及其数学模型
正态分布是指在一个次数分布中，位于中间的次数多，而两端的次数对称减少，形成一种“钟”形的对称分布。正态分布也称常态分布。
正态分布是一种理论上的连续变量的次数分布，其次数分布图是一条光滑均匀的曲线，这种曲线称为正态分布曲线。如图6-2。
图6-2 正态分布曲线图
正态分布曲线的一般数学模型为：
式中，Y表示某一变量所对应的曲线高度，即变量的相对次数；
X表示连续变量；
μ为总体平均数；
σ为总体标准差；
e为自然对数之底；
N为总次数；
π为圆周率，约等于3.1416。
正态分布曲线的形状和位置由其总体的平均数μ和标准差σ决定。平均数μ决定正态曲线的位置，标准差σ决定了正态曲线的分布形态。不同的μ和σ的组合，就得到不同的正态分布曲线。任何正态分布曲线都是对称的。(www.xing528.com)
在正态分布中，总次数N是曲线与横轴间所包含的面积。若把总次数视为一个单位，即N=1，则总面积也为1；若以总体平均数μ为原点，即μ=0，以变量X的标准差为计算单位，即σ=1，则一般的正态分布变成标准正态分布。
其数学模型为：
标准正态分布曲线如图6-3。
图6-3 标准正态分布曲线图
标准正态分布曲线在Z=0时，Y=0.3989，达到最大值。
（二）标准正态分布曲线的特点
从图形和以上的分析可知，标准正态分布曲线有如下特点：
（1）标准正态分布曲线的平均数μ=0，标准差σ=1，曲线与横轴所包含的面积为1个单位。
（2）曲线以Z=0（即μ=0）为中心，以Y轴为对称轴，左右两边完全对称，两边曲线下的面积都等于0.5。
（3）曲线与对称轴交点处的Y值最大，Y=0.3989。两边曲线先快后慢下降并逐渐接近横轴，但永远不与横轴相交。横轴为曲线的渐近线。
（4）横轴上绝对值相等，符号相反的两个数Z和-Z对应的曲线高度相等，以Z和-Z所对应的点作Y轴的平行线，它们和Y轴与曲线所包围的面积也相等。
（5）标准正态分布曲线向左、右两个方向无限伸展。因此，从理论上说，标准分Z既没有最大值，也没有最小值。
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