磁场与电磁力的模型及应用

与交流电机的电磁力形成机制不同，开关磁阻电机的电磁力是由磁阻效应产生的，电磁力大小既与磁场强度有关，也与定、转子的相对位置有关。下面从磁场形成和磁阻力形成的角度介绍磁场—电磁力模型。

1）磁场的空间分布

磁场的基本公式为

式中，ik为绕组电流；Rrel为第k绕组所在定子与邻近转子及定、转子轭部形成的磁路的等效磁阻；Lk是第k绕组的电感，与等效磁阻成反比。

绕组电流是形成磁场的动力源，类似电场中的电动势，Nwip也称为磁动势。Rrel为磁路等效磁阻，开关磁阻电机的磁路由导磁硅钢和气隙共同构成，整个磁路中各部分的磁阻不相同，等效磁阻代表整个磁路的平均磁阻值，即磁动势与磁通量的比值。Rrel与转子位置、绕组电流均有关系，转子位置影响磁链的分布，绕组电流影响硅钢片的饱和程度。通过有限元方法获得的不同转子位置时的磁场分布如图2.3所示，从图中可以看出磁通在定、转子重合的位置最集中，重合位置也最容易出现饱和。

图2.3　不同转子位置时的磁场分布图

（a）0°位置；（b）180°位置。

有限元方法仿真精度高，但并不能表达磁场分布的影响因素。下面利用等效磁路模型分析磁场分布的影响因素，由于磁路中不同位置的磁通密度不同，因此将磁路分解为若干磁阻块，假设每个磁阻块内的磁场分布相对均匀，磁导率也相同。开关磁阻电机单相磁路模型如图2.4所示。

图2.4　开关磁阻电机单相等效磁路模型

等效磁路模型中各磁阻块的磁阻可以根据磁阻公式计算，即

式中，分别为第i个磁阻块的磁导率、磁阻块长度和磁阻块横截面积。磁导率ρM表示磁阻块在磁动势作用下产生磁通的阻力，是铁磁材料的关键属性，它既与材料种类有关，也与磁场的强度和温度有关，是决定磁阻块阻值的关键因素。在磁通不饱和的情况下，铁磁材料中产生的磁通密度随磁场强度增加而迅速增加，磁导率较高；磁通饱和后，铁磁材料中产生的磁通密度随磁场强度增加而缓慢增加，磁导率降低。电机中较常用的硅钢片35W270的磁通密度（B）-磁场强度（H）关系如图2.5所示［4］。

图2.5　35W270硅钢片B-H曲线

根据磁导率，磁阻块可分为气隙磁阻和硅钢片磁阻两种类型。

（1）气隙磁阻。由于空气的磁导率远低于硅钢片磁导率，因此气隙的磁阻大于硅钢片磁阻，磁动势很大部分用于建立气隙磁场。气隙磁阻不存在饱和现象，其取值主要与定转子的相对位置有关。

（2）硅钢片磁阻。硅钢片由于导磁性较好，非饱和状态下其磁阻在磁路中的影响较小，但在饱和状态下，其磁阻会变大，硅钢片的饱和因素也是开关磁阻电机非线性特性的主要来源。磁阻的饱和区域一般位于凸极的边缘，由于凸极重合部分的气隙磁阻小，因此多数磁通经过该区域会导致与该区域相邻的硅钢片也容易出现饱和，且重合面积越小时，越容易出现饱和。饱和后，该区域的磁阻显著增大，其增加规律可以根据B-H曲线估计。非饱和区域的磁阻较小，可以根据非饱和磁导率计算该部分磁阻。

2）电磁力

根据最小磁阻原理，开关磁阻电机的电磁力使转子向磁阻更小的方向运动，与交流电机或永磁电机的电磁力不同，开关磁阻电机的电磁力是张量形式的力，而非洛伦兹力。

可以从能量转换的角度来计算开关磁阻电机的电磁力，下面以转矩为例说明开关磁阻电机电磁力的计算方法。图2.6所示是12/8 1.5kW三相开关磁阻电机的磁链特性曲线，开关磁阻电机的磁链与电流和转子位置有关。

图2.6　12/8 1.5kW三相开关磁阻电机的磁链特性曲线

考虑从磁链特性曲线的A点运动到B点的过程中能量的变化。如图2.6所示，A点时转子位置为θA，定子线圈对应的磁通和电流分布为D、E；B点对应的转子位置为θB，磁通和电流分布为C、F。式（2.1）两边同时乘以电流ik，可以得到电场转换到磁场的能量，即

由图2.6可知在由A点运动到B点的过程中，电场注入磁场的能量为四边形ABCD的面积，即

假设电机保持在θA不变，在电流从0增加到E的过程中，注入线圈的能量为

即在A点时线圈的储能为SOAD的面积，该能量称为A点的磁共能。同理B点的磁共能为SOBC。根据能量守恒，由A运动到B的过程中，输入能量为SABCD，储能变化为（SOBC－SOAD），则输出的机械能为

机械能的输出表现为转矩和位移，即

式中，Tk表示第k相的转矩。A点和B点能量变化适用于磁链特性曲线上的任意两点。应用虚位移原理，对于磁链特性曲线上的任意一点，其转矩为

电机的总转矩Te等于m相转矩的叠加，即

将ψk＝ik·Lk带入到式（2.14）中可以得到

由于饱和现象的存在，电感Lk是位置和电流的函数，当忽略饱和现象时，电感仅与位置有关，此时转矩可以进一步简化为

式（2.17）通常用于电机转矩的简化计算，在非饱和区域（低电流区域）精度较高，随着饱和现象的出现，其精度有所降低。

由于仅考虑了角度θ对磁场能量的影响，式（2.14）所表示的力仅对角度θ产生影响，即电机的切向力与转矩成比例关系。当用广义坐标x代替θ时，可以得到广义坐标下的电磁力。在广义坐标下，磁链是电流ik和广义坐标x的函数，即ψk（ik，x），则广义坐标下的电磁力为

当x表示旋转自由度时，Fx为转矩；当x表示径向自由度时，Fx为径向力。

开关磁阻电机在运行过程中径向力和切向力是同时存在的，如图2.7所示，电磁力是径向力和切向力的矢量和，径向力和切向力的关系与转子位置有关。图2.7中x-y坐标系为静态坐标系，y轴与定子凸极的中心线重合。θp表示y轴与转子切向力的夹角。根据图2.7可知，径向力和切向力存在对应关系，这种关联使切向力引起的转矩与径向力引起的振动之间也存在对应关系。径向力和切向力的具体值可以通过数值计算获得。

图2.7　开关磁阻电机电磁力分解

3）机械转动模型

由受力平衡可得电机转子系统的机械运动方程，即

式中，ω为电机的角速度；J为开关磁阻电机传动系统的总转动惯量；Tk表示第k相的电磁转矩；TL为电机的总负载转矩；ƒr为系统的阻尼系数。

4）振动模型

开关磁阻电机运行过程中产生的径向力是引起定子振动的根源。在考虑振动问题时，通常将电机简化为无阻尼的薄壁壳体，在单相绕组电磁力作用下，电机的振动模型为(www.xing528.com)

式中，M为质量矩阵，C为结构阻尼矩阵，K为弹性刚度矩阵；和x分别为定子加速度矢量、速度矢量、位移矢量；Fr为力函数矢量；x和Fr均是关于时间的函数。

假设电机本身的结构阻尼影响很小，可以忽略不计，同时电机的振动特性与外界力无关，可令Fr＝0，此时得到了系统的无阻尼自由振动方程：

定子振动呈驻波的形式，其表达式为

将式（2.21）和式（2.22）两式合并可以得到

其特征方程为

通过求解方程可以得到电机振动的特征频率ƒn（n＝1，2，3，…）和相应振型。电机定子的前6阶振型如图2.8所示。

图2.8　定子低阶振型

5）热场模型

开关磁阻电机内部的热源包括绕组铜损、硅钢片铁损、机械损耗（包括摩擦损耗和风阻损耗），即

式中，铜损Pe主要与电流强度有关；机械损耗Pmec主要与转速有关；而铁损Pmag则相对复杂，不仅与磁场强度有关，还与磁场的分布有关。

为了相对准确地计算铁损，可以利用图2.4中的磁阻块网络进行计算，分别计算各磁阻块的磁场强度和铁损，然后叠加得到总的铁损。对单个磁阻块，可以根据史坦麦兹公式计算铁损，即

式中，BN表示磁场强度的峰值；ƒN表示磁场变化频率；Kn、δ和γ均为史坦麦兹系数，可通过拟合材料的磁滞损耗曲线获得。铁损包括了磁滞损耗和涡流损耗，由于史坦麦兹公式中的铁损与磁场频率有关，因此在计算铁损时通常将磁通进行傅里叶变换，得到磁通的频谱分布，然后分别计算各阶磁通分量的铁损。铁损也与磁场强度有关，随着磁场强度的增强，硅钢片可能进入饱和状态，其铁损增大，硅钢片铁损与磁场强度的关系如图2.9所示。

图2.9　硅钢片铁损与磁场强度的关系

考虑到温度对多个物理场参数的影响，温度的分布也非常重要。利用磁阻块网可以分析运行过程中电机各部分的温度。图2.10给出开关磁阻电机热场计算的平面模型，该模型包括6个热源和10个热交换节点。6个热源包括绕组铜损产生的2个热源（分别位于绕组左侧、绕组右侧）和硅钢片铁损产生的4个热源（分别位于定子轭部、定子凸极、转子凸极、转子轭部）；10个热交换节点表示了不同导热属性的材料接触产生的热交换，该模型假设热场在同一导热属性的材料中是平均分布的。

在该模型中，热量在10个热交换节点间互相传递。同一材质间的热量扩散性能相同，不同材质间进行热量传递时还需要考虑传递损耗。热量在传递过程中的损耗可以用阻尼来表示，阻尼可分为三类：传导阻尼、传递阻尼和接触阻尼。其中传导阻尼表示同种材质间的热传导系数，其计算公式为

图2.10　开关磁阻电机热传递简化平面模型

传递阻尼表示两种固体在非理想接触情况下的热传导系数，其计算公式为

接触阻尼表示在气体或液体流动情况下的热传导系数，其公式为

热源产生的热量通过节点传导分布于不同的材料中，最终形成稳态平衡。热传导网络可以等效于电压-电阻-电容网络。电容代表不同材料的储能属性，用来表示某种材质吸收或存储能量的能力，其大小由材料热容量Cp决定，热容量受温度影响，其计算公式如式（2.30）所示；电阻可以表示三类阻尼；电压则表示热源产生的温度高低。

根据该网络模型可以计算出在多个热源作用下电机各部分的温度分布。

6）耦合分析

在电机的实际运行中，共有四个物理场参与其中，包括电场、磁场、热场、机械运动。

（1）电场。电场在物理层面由电源、开关器件和绕组线圈组成，电场的输入为外界施加的电压，输出为绕组电流。电场是电机的能量输入端，在电机运行中通过开关器件的动作控制电场的输入以控制电机输出。电场的关键特性参数包括绕组电压、绕组电流和绕组电阻。从能量的角度看，电场与热场和磁场均存在耦合，电场的性能参数则受热场的影响。

（2）磁场。磁场在物理层面由通电线圈、定转子及气隙构成的磁路组成，绕组线圈通电使该磁路具有磁动势，磁动势作用在磁路中形成磁通量。磁场的输入为绕组形成的磁动势，输出为磁通量。磁场的关键性能参数包括磁动势、磁导率、局部磁场强度、绕组电感。磁场是电机能量交互的中心，磁场与电场、热场和机械运动存在能量交互，磁场的性能参数同时受热场及机械结构的影响。

（3）热场。热场的分布广泛，其在物理层面包括开关磁阻电机本体和驱动系统。热场的输入包括四部分：一是绕组电阻在通电时产生的铜损；二是磁场变化引起硅钢片中的铁损，其中铁损又可以分为磁滞损耗和涡流损耗；三是驱动系统中功率器件开关过程产生的热量；四是机械摩擦及风阻摩擦产生的热量。热场的输出是电机整体温度分布的变化。热场的关键性能参数较多，与铜损相关的包括绕组电阻、绕组电流，与铁损相关的包括局部磁场强度、磁滞损耗系数、涡流损耗系数，与开关损耗相关的包括功率器件开关频率、母线电压及功率器件开关损耗系数，与机械损耗相关的包括转速、摩擦系数、风阻系数。从能量的角度，热场与电场、磁场、机械运动存在交互，而热场对电场、磁场的特性参数有明显影响。

（4）机械运动。机械运动的物理载体是电机本体，具体形式包括转子的转动和定子的振动。机械运动的输入为电磁力，输出则是转子的动力输出和定子的径向振动。机械运动的关键参数包括转速、转矩、外接负载、摩擦系数、风阻系数、模态频率及振型。从能量的角度看，机械运动与磁场和热场存在交互，机械运动的特性参数受热场的影响，同时机械运动也影响磁场和热场的特性参数。

开关磁阻电机在工作过程中的各物理场交互包括：①开关器件动作，电源中的电能注入线圈，引起线圈电流变化；②线圈电流的变化伴随磁场分布变化；③磁场变化引起电磁力（转矩和径向力）变化，产生机械转动或振动；④线圈电流产生的铜损、磁场变化引起的铁损（磁滞和涡流损耗）、机械运动产生的损耗共同作用改变温度分布。

电机运行过程中完整的能量交互和参数耦合如图2.11表示。

通过对电机各物理场特性的分析可以看出，不同物理场间存在复杂的参数耦合，但这些耦合间也存在差异，在数值计算或分析中需要加以区别，根据耦合因素把耦合物理场的影响分为弱单向耦合、弱双向耦合和强双向耦合三类。

①弱单向耦合。该耦合方式下两物理场间的耦合幅度小，耦合因素仅对单一耦合场有影响，在物理场演进过程中可以忽略耦合影响。

图2.11　开关磁阻电机能量交互及参数耦合

②弱双向耦合。该耦合方式下两物理场间的耦合明显，在物理场演进过程中需要考虑该因素，但对实时性要求不强，在演进分析中可以对耦合场进行交替迭代。

③强双向耦合。该耦合方式下两物理层间的耦合幅度较强，需要实时考虑耦合因素，在物理场演进中需要进行协同计算。

开关磁阻电机运行过程中，各物理场间耦合方式分类如表2.1所示。

表2.1　开关磁阻电机多物理场耦合因素分类

在电磁耦合分析中，电机相绕组相当于电感线圈，遵循法拉第定理，其中反电动势E与磁场有关，绕组电压由功率器件的开关状态决定。电机磁场的磁动势与相电流有关，而磁场强度则由磁动势和磁阻根据磁路欧姆定理决定。电磁耦合可以用变压器模型近似表示，变压器模型的系数为Ns，等于每相绕组的圈数，变压器保证电磁场间的强耦合关系，电场和磁场的参数在一个步长内是同步更新的。

热场的时间常数比电磁系统的时间常数大很多，因此电磁场与热场间的耦合可以认为是弱耦合关系。相绕组的电阻随温度变化，同时磁阻也会随温度变化。电阻和磁阻的变化会影响磁场强度，进而影响铁损，铁损是热场的热源之一。

在电机电磁力的方程中，气隙磁阻的变化率是关键变量，气隙磁阻的变化率影响电机的电磁力，进而影响机械运动。对于径向振动，其径向位移也会影响气隙磁阻的变化，但由于电机刚度大，径向位移很小，通常忽略，认为电磁场与机械运动为单向耦合，可以通过差分迭代的方式计算电磁力与机械运动。

电机的温度会影响硅钢片的杨氏模量和弹性模量，进而对电机的模态特性产生影响。同时在电机的运动中，风阻损耗和摩擦损耗也是电机的发热来源之一，但由于其数值较小，通常忽略，认为热振耦合为单向耦合。