黏弹性流体是具有黏性和弹性两种特性流体。应力和应变及其导数之间呈现线性关系的流体称为线性黏弹性流体。偏应力张量和变形速率张量之间呈现非线性关系的流体称为非线性黏弹性流体。大量的文献和流变学的书籍介绍了许多黏弹性材料本构方程。由于工程加工中，黏弹性流体运动十分复杂，加上材料本身性质的复杂性，建立简单本构方程有一定的应用局限性，大多数本构方程应用有限。
多参数的复杂本构方程能反映材料的流变特性，由于方程的非线性和含参数多，不能解析求解，限制了它们的使用。直到数值模拟技术使用后，多参数本构方程才得到使用。聚合物成熟的商业计算软件Ployflow中，给出了许多复杂的黏弹性流体的本构方程，可以选择使用来数值求解复杂的工程加工成型问题。
由于篇幅有限，本小节仅介绍常用非线性黏弹性流体的本构方程[1-6]，包括Maxwell模型、上随体Maxwell模型、White-Metzner模型、Phan Phien-Tanner模型、Glesekus模型5部分。
(1) Maxwell麦克斯韦模型[3]
若非牛顿流体具有黏弹性，流体具有记忆功能，因此流体的应力不仅与当前的应变速率张量有关，还与应变历史有关。早在1867年，基于流体应力与应变历史和应变速率有关的分析，Maxwell用一只弹簧表示物质的弹性效应，而用一只黏度壶表示物质的黏性效应。图5.2.3给出了由力学单元的弹簧串和黏度壶组成的麦克斯韦模型。图中黏度壶代表黏性流体遵循牛顿定律，弹簧代表虎克固体遵循虎克定律。
图5.2.3 麦克斯韦的模型
由弹簧串和黏度壶组成实验装置的结构和原理可知，麦克斯韦模型是线性黏弹性模型。在弹簧和黏度壶串联的情况下，弹簧和黏度壶中的应力τ应该相等，而总应变等于弹簧和黏度壶的应变之和。用虎克定律描述材料的弹性效应，定义剪切变形和剪切速率分别为
式中，G为剪切模量。
黏性效应用牛顿黏性定律描述为
在弹簧和黏度壶串联的情况下，弹簧和黏度壶中的应力τ应该相等，而总应变等于弹簧和黏度壶的应变之和。总剪切变形速率为式(2)和式(3)的加和，为
引入松弛时间
将式(5.2.32)代入式(4)，得到本构方程
式中，λ为松弛时间；∂τij/∂t不是一个张量。
由于虎克定律仅使用于无限小的位移梯度下的变形。因此，在弹性小变形的条件下得到的Maxwell模型，仅适用于无限小的变形，可定性解释一些流体的黏弹性现象。例如，解释变形突然变为零后的应力松弛和施加的应力突然解除后的弹性恢复等现象。麦克斯韦模型既不能预示非牛顿黏度，也不能预示法向应力效应。剪切应力对时间的导数∂τ/∂t不是一个张量，也就是方程(5.2.33)没有满足张量方程的客观性原理。但是，麦克斯韦模型为建立其他更好的模型打开了思路。
(2)奥尔德罗伊德-麦克斯韦(Oldroyd-Maxwell)模型[3]
该模型也称为上随体麦克斯韦(upper-convected Maxwell，UCM)模型。Oldroyd-Maxwell模型为了克服Maxwell模型中∂τ/∂t不是张量的缺点，必须寻找一种方法克服这一问题，找一种新方法写出物理量对时间的导数，使模型能保持随时间变化速率的物理意义，同时又具有所要求的数学性质，即满足张量方程的客观性原理。用随体导数（随流微商、逆变导数）δτij/δt代替式(5.2.33)中对时间的偏导数，得到新模型为
其中
上随体Maxwell模型可以预示剪切流动中的材料函数。小振幅动态力学特性与Maxwell模型所预示的相同。但是，所预测的黏度和第一法向应力差系数都是常数，不是剪切速率的函数。显然，这个模型是不完善的，不能预示聚合物“剪切变稀”等许多基本特性。(www.xing528.com)
(3)White-Metzner (W-M)模型
为了改善Oldroyd-Maxwell模型，使用依赖于非牛顿黏度函数式(5.2.13)
代替式(5.2.33)和式(5.2.34)中的牛顿黏度μ，按照本书使用的应力正负号的约定，得到著名的White-Metzner(W-M)模型为
其中
式中， δτij/δt为随体导数 (随流微商、逆变导数)； G为恒定的剪切模量，并与变形速率无关。
这个模型的材料函数为
；
；ψ2＝0。
按照Tadmor[2]的专著应力的正负号约定，得到White-Metzner (W-M)模型与式(5.2.35)相比，差一个负号，为
当使用这个公式时，运动方程中用应力表示的黏性力的项也与本书的公式差一个符号，见附录1.2。
(4)PhanThien-Tanner (PTT)模型[3，5]
该模型可以预示稳态剪切流动和拉伸流动。基于前面的模型，1977年，曾是Tanner的学生Phan-Thien教授提出了一个模型。1978年，Phan-Thien和Tanner根据网络理论修正后，建立了以他们名字字母开头的PTT模型方程
式中，δτ/δt为随体导数（随流微商)；ε为特征拉伸参数；G0为剪切弹性模量；trτ为应力张量的迹，即应力第二不变量
。
Phan Thien-Tanner本构模型为
式中，ξ为标量参数，ξ＝－2(ψ2/ψ1)。
(5) Glesekus模型[3]
基于变形张量的滴度概念，建立的Glesekus本构模型为
式中，δτij/δt为随体导数（随流微商)；α为常数；λ为松弛时间。
从以上介绍的几种本构方程可看出，后面几种本构方程是前面简单模型的修正，使用多参数模型改进了单参数模型。从本构方程的演变可以看到流变学的发展史。另外，需要指出的是，成熟的Polyflow聚合物流动数值模拟软件中包涵了牛顿流体、非牛顿黏性流体、黏弹性流体的本构方程，供工程技术人员使用。下面介绍如何选择使用现有的本构方程。
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