分形理论的演变：从起源到发展

自20世纪70年代，分形理论正式确立以来，分形的研究大致经历了三个阶段。

一是从无序到分形序的跨越，并由此产生了以Hausdorff测度和Hausdorff维数为标志的分形理论基础。

分形理论指出，分形的复杂性在于人们跨越了尺度层次对事物进行测量和认识，例如，若将1.2维的广义曲线置于拓扑维数为1的空间进行研究，则必然是复杂的。分形的出现将英国的海岸线究竟多长、Weirstrass病态函数曲线的可微性和连续性、Cantor迭代集的拓扑长度和极限问题等一类在传统集合论和函数空间视为病态和例外的数学问题囊括起来，形成了分形几何这一新的数学分支。分形在信号分析和处理中的应用研究形成了分形信号处理理论。研究表明，分形能对许多实际信号进行有效的建模和描述，如噪声与杂波干扰、音乐信号、心脑电图信号和地震波形等，它们都具有自相似特征。分形维数能反映有关分形信号波形的几何特征信息，对信号的复杂度、不规则性和全局正则性进行定量的描述。分维数的估计是分形研究的关键问题之一，目前主要有基于测度关系的分维估计、基于FBM的分维估计（包括时域法、频率法和小波分析法）和基于迭代函数系IFS的分维估计。

分形研究的历史始终伴随着对分形维的各种定义和计算方法。Hausdorff首先引入维数的概念，该维数以Hausdorff测度为基础，且适用于任何集合。要了解分形，人们就有必要了解Hausdorff测度与Hausdorff维数，但从定义出发计算分维是相当困难的，这种计算上的困难也极大地限制了Hausdorff维数的应用。随着分形应用研究的不断深入，出现了多种分形维数的定义，除了Hausdorff维数以外，还有相似维数、计盒维数、容量维数、填充维数、Kolmogorov维数和Lyapunov维数等，这些维数之间的关系还没有完全厘清。大多数分形维数的定义均是基于“尺度δ下的度量”这一思想。

二是从全局的分形（单规分形的分维数）到局部分形（局部奇异性指数、瞬时奇异性指数），并通过对瞬时奇异性的统计分析得到多重分形谱，从而实现了从对构成分形整体的各个奇异性测度子集分布的分维描述。

分形维数从整体上定量描述了自相似信号的不规则性，可以作为信号全局正则性的测度。然而，除了标志着分形对象的自相似性构造规律外，单一的分形维数并不能全面揭示出产生相应结构的动力学过程，不足以描述经过复杂的非线性动力学演化过程而形成的结构。在各个复杂的形体的形成过程中，其局域条件是十分重要的，不同的局域条件或由涨落引起的参量的波动是造成这类形体的形态各异的主要原因之一，分形维数缺乏对分形对象的局域标度特性的刻画。多重分形谱理论突破了整体分维的概念，克服了单分形维数忽略局部信息的细节特征而只能对研究对象进行整体刻画的不足。(www.xing528.com)

通常用Holder指数来测度信号的局部奇异性，用Lipchitz指数来测度信号的正则性，小波变换是信号局部奇异性检测的有力工具。但是Holder指数不能充分表征信号的整体奇异性，特别是对于处处奇异的信号，难以用Holder指数进行有效估计。信号多重分形能从局部和全局研究信号的正则性。首先测量信号的局部正则性，通常以Holder指数进行刻画，然后给出这种正则性的几何和统计分布的全局描述。作为研究奇异测度结构的工具，多重分形理论在信号分析和处理中的应用近年来已经引起各国学者的兴趣，广义维数和奇异谱是常用的两套描述多重分形的参量。信号多重分形分析的首要问题是D（q）和f（a）的有效估计。

广义维数考虑了计盒维数覆盖的点数在空间分布的密度，通过把空间各处奇异测度的q次方求和，从总体上反映各处的奇异程度。另一种基于关联积分的广义维数，即所谓的GP算法，与计盒法统计盒子内的点数不同，它主要分析集合内具有各种点间距离的点对分布情况。多重分形谱，又称奇异谱，是描述多重分形的另一套常用参量，奇异测度的分布结构可以通过多重分形谱进行分析，多重分形谱给出了具有相同奇异性的点几何分布和概率测度分布信息。在多重分形谱的计算方法上，主要有体现奇异性指数几何分布的Hausdorff奇异谱、反映奇异性概率统计分布的大偏差谱和便于工程计算使用的Legendre多重分形谱。

多重分形理论建立了分形对象的局域标度特性与总体特性的关系，克服了分维只适合于平稳信号分析和处理的不足，特别是小波的引入为多重分形的计算提供了一种快速且精度较高的计算方法。另外多重分形降趋波动分析方法（MFDFA）和基于Q阶矩多重分形谱也是计算多重分形谱的重要方法。

三是从多重分形谱（multifractal spectrum，MFS）理论到广义多重分形谱分布（multifractal spectrum distribution，MFSD）和广义奇异性功率谱分布（singularity power spectrum distribution，SPSD）。

多重分形谱是将信号变换到奇异域的一种表示，对于分形谱不随时间变化的确定性分形信号和平稳随机分形信号，都可用其分析处理。但当信号的分形特性变化时，如语音信号、脑电图信号、心电图信号、复杂湍流和突变信号、DNA序列检测以及地球物理信号处理中呈现大量复杂的自然信号等，由于空间／时间上的非平稳特性以及非线性特征，多重分形谱分析不能表示某个时刻信号奇异谱分布的特征，所以它存在严重不足。针对多重分形谱随时间变化的确定性分形信号和非平稳随机分形信号，借鉴经典短时Fourier分析的思路，提出了加窗处理的短时多重分形谱分布（short-time multifractal spectrum distribution，ST-MFSD）的概念，给出了短时的信号时变奇异性指数的定义，通过统计分析得到短时Hausdorff奇异性谱、短时大偏差多重分形谱、短时质量函数和短时分区函数。借鉴Wigner-Ville时频分布的思路，在短时多重分形谱分析的基础上，将信号自身的延迟共轭版本作为窗函数，构造出信号的瞬时自相关，以此推导了信号二次型版本的奇异指数分布，并基于此提出时变多重分形谱分布，包括Hausdorff测度和奇异谱分布、时变的大偏差多重分形谱和时变Legendre谱分布。此外，可将奇异性指数作为一种信号分析的独立维度——奇异域，用于分析系统在奇异域的能量和功率分布，得到奇异性功率谱和广义奇异性功率谱分布的概念。