教学基本模式：导研式教学的探索

由于教学模式在很大程度上决定着学生学和教师教的过程与方式，因此教学模式的构建是教学设计的核心环节。由于研究力只能在研究实践中发展，因此导研式教学需要与学生研究和创造的思维过程相一致，需要通过一定的模式和程序保证学生有足够的研究空间和研究时间。基于中国高中数学教育的现实以及创新性思维的特点，在平时大量教学实践和课堂观察的基础上，通过分析、归纳和总结，再结合相关文献，笔者认为，高中数学导研式教学基本模式由自然、合理地提出问题，自然、合理地解决问题，应用巩固内化迁移，自然、合理地拓展问题四个环节组成（如图4-3所示），简称为“三个自然+一个内化”模式。

图4-3　高中数学导研式教学基本模式

（一）自然、合理地提出问题

教学的起点是教师创设易于学生发现、提出数学问题的情境，提供有利于学生发现、提出数学问题的背景或材料，而不是教师直接呈现、提出要解决的数学问题。为此，一方面，教师应为学生提供产生数学问题的背景和材料，诱发学生学习与探索的欲望；另一方面，教师应做定向性、引导性和激励性的讲解，以明确研究的范围、方向和内容，为学生提出适合研究的问题提供支持与帮助。

由于学生提出数学问题的能力比较薄弱，因此他们所提出的数学问题往往存在条件与问题指向都不明确的结构不良问题。教师应指导学生围绕问题的构成要素，对问题进行整合、评价和优化，进而使问题处于学生的“最近发展区”，这种问题是学生能够解决、值得解决的问题。也就是说，教学不仅要关注学生如何提出问题、提出多少问题，还要关注对问题的评价与选择，因为这既是提出问题能力的重要组成部分，也是接下来解决问题的需要。例如，在“组合与组合数公式”教学之初，教师先请学生自由讨论、解决以下问题：

（1）全班40位同学毕业后，如果相互间通一封信，那么总共要通多少封信？如果聚在一起开同学会，相互间握一次手，那么要握多少次手？

（2）用2、3、5、7四个数可以组成多少个没有重复数字的三位数？如果从这四个数中任取3个数相乘，那么又可得到多少个不同的积？

在学生讨论与解决以上问题的基础上，引导学生发现、提出、确定、解决以下问题：

（1）存在与“排列”问题既有共同点又有不同点的另一类问题。

（2）这类问题与“排列”相比，其共同点和不同点分别是什么？

（3）如何给出这类问题的定义？它的个数与相应的排列数有什么联系？

（4）一般的组合数公式是什么？为什么？

（5）请举出一些简单的排列、组合问题，计算其排列数和组合数。(www.xing528.com)

这一环节的教学功能表现在五个方面：一是培养学生的观察能力和分析能力，深化学生对相关知识的理解；二是激发学生探究的欲望，启发他们积极思考；三是引导学生在具体情境中发现、提出数学问题，培养他们提出问题的能力；四是使学生学习有“根”的数学知识，并潜移默化地接受数学精神、数学思想方法的熏陶；五是为下一步解决问题指明方向，做好铺垫。需要指出的是，创设问题产生情境并不只出现在课堂教学开始时，因为解决问题的过程也是不断地提出问题、转化问题的过程。

（二）自然、合理地解决问题

这里的“解决问题”是解决前面环节所提出的数学问题，其实质是发现、建构和创造数学知识。这一环节通常包括以下两部分内容：

第一，分析问题，做好相关知识准备，即在分析问题的基础上，搞清解决问题所需的相关知识，然后有针对性地回顾、复习，激活已有的相关知识，为新知识提供生长点和固着点，也为解决问题做好铺垫。这个环节教学与通常教学的不同点在于，在课堂之初教师根据需要解决的问题，让学生自己复习、回顾相关知识，使学生明确为什么要复习、复习什么内容，这不仅符合学生解决问题的实际以及学生的认知规律，也有助于在更高层次上体现学生的学习主体地位，还有助于发展学生收集、选择与运用已有信息的能力。

第二，分解转化，解决问题，即把待解决的问题分解为几个子问题或转化为更容易解决的问题。换句话说，把解决问题的过程看作是不断提出问题，并将它转换、分解、组合、引申、变化为已经解决或容易解决的问题的过程。问题转化的实质是把学生“最近发展区”内的问题不断转换、分解成学生“现有发展区”内的问题，是架设问题与目标之间的桥梁，从而不断缩小问题空间。在这个环节中，教师应加强对问题转换策略与方法的指导，如问题“两条异面直线是否一定有公垂线”等价于“是否一定能做出任意两条异面直线a、b的公垂线l”，而此问题又可转化为“是否存在直线l满足条件：①垂直于直线a；②垂直于直线b；③与直线a相交；④与直线b相交”。

这个环节的教学功能包括三方面：一是解决前面所提出的数学问题，从而有效地发现、建构数学知识；二是在解决问题的过程中培养和发展学生的思维能力与研究能力；三是深化学生对所建构的知识的理解，为下一环节利用这些知识解决相关问题做好准备。

（三）运用巩固、内化迁移

这个环节主要是例题、习题教学，也是学生与数学家在研究数学方面不同的地方。尽管片面理解与运用“熟能生巧”，以及不计投入、不讲效率地搞大量的解题训练是错误的，但适当的巩固性、应用性练习却是促进数学知识向数学技能发展所必不可少的。省略这一环节既不符合学生的学习规律，也不符合课堂教学实际。这个环节的教学与通常的数学教学差不多，但其内涵与做法有所不同。首先，这里的应用巩固是相对于前面重在发现、建构新的数学知识而言的，它把教师讲解例题、学生练习等都看作是应用与巩固前面所获得知识的一部分；其次，例题不一定要由教师来分析、讲解，也可以由学生自己独立解决或者通过合作讨论来解决，因为教师先讲解例题，然后再安排学生进行相应的巩固性练习，会增强思维的模仿性而削弱思维的创新性，不利于学生思维能力的发展。

这个环节的教学应注意以下三方面：一是应根据学生的实际，对教材上的例题与习题进行恰当的调整与补充，使之具有更强的针对性和有效性；二是应充分考虑不同层次学生的能力与需求，为不同水平的学生提供不同的例题和习题，让“能飞的学生飞，能跑的学生跑，能走的学生走”；三是应及时对例题、习题的解题思路与方法进行小结、归纳与推广，充分发挥例题、习题在巩固知识、促进迁移、发展能力等方面的功能。

这个教学环节的主要功能包括三方面：一是巩固知识、形成技能；二是让学生了解和欣赏数学知识、数学方法的价值，进而激发学习兴趣，增强学习动力；三是促进知识内化与迁移，培养学生举一反三的能力。

（四）自然、合理地拓展问题

鉴于回顾反思是拓展问题的前提与基础，因此笔者把“回顾反思”归入“拓展问题”环节，即这里的“拓展问题”包括“回顾反思”“拓展问题”两部分。

要使学生对所获得的知识有正确、完整和系统的认识，那么回顾、反思、总结、评价就显得非常重要。应通过引导和帮助学生梳理所学知识、概括要点、总结规律，把新知识纳入他们原有的认知结构中。由于系统化、结构化的知识材料既有利于学生掌握与应用，又有利于学生迁移和运用，进而成为新知识的生长点和固着点，因此这一环节的主要教学功能是使学生所获得的知识系统化、网络化和结构化。学生可以自我提问，如“这节课我获得了哪些知识？是通过怎样的途径与方式获得的？这些知识与原来所学的知识有怎样的联系？知识的注意点和关键点分别是什么？”在此基础上，教师应鼓励学生质疑问难，引导学生从不同的角度、用不同的方法对所学知识进行反思，从而提出新的问题；教师还应指导学生遵循数学知识发展的内在逻辑，用变维（改变问题的维度）、变序（改变问题的条件和结论）、扩展、深化等方式提出新问题，将问题链引向课外继续学习。

比如，在学习了“任意角三角函数”概念后，教师可以提出问题，如“接下来应研究哪些问题？”然后引导学生在函数的视野下提出需要解决的问题，如三角函数的定义域、值域分别是什么？不同象限的角的函数值的符号如何？既然三角函数的值是由角的大小决定的，那么同一个角的三角函数值之间又有怎样的关系？具有特殊关系的角（如终边相同的角、终边互为反向延长线的角、终边关于x轴对称的角、终边关于y轴对称的角、终边互相垂直的角等）的函数值之间又有怎样的关系？