SVD可观测度分析优化方法

SVD可观测度分析方法利用可观测性矩阵的SVD来分析系统及状态可观测度。这种方法既适用于完全可观测系统，又适用于不完全可观测系统，并且不需要事先做卡尔曼滤波运算，直接简单地实现系统可观测度分析。

定义3-2：对于矩阵，非负定矩阵AHA的i个特征值λi（≥0）的算术根，叫作A的奇异值。

对任何的，都有：

（1）AHA与AAH都是半正定的。

（2）r＝rank（A）＝rank（AHA）＝rank（AAH）。

定理3-1：设，则存在酉矩阵U∈Rm×m和V∈Cn×n使得

S＝diag（σ1，σ2，…σr），其对角元素按照σ1≥σ2≥…≥σr≥0顺序排列，其中r＝rank（A）。

将提取可观测矩阵Qs（r）进行奇异值分解得到

其中U＝［u1u2…unmr］，V＝［v1v2…vr］，S＝diag（σ1，…σr）。

根据z＝Qs（r）x0得到

当观测量具有常值范数时，初始状态值形成一个椭球，该椭球方程为

令

式中，ai为椭球主轴长度。该椭球的体积由奇异值确定，奇异值大时，椭球的体积小，x0小；当σi为零时，估计问题就变成一个奇异问题，估计无界，初始状态不能由观测量确定。

由式（3-14）知初始状态x0在　［σ1v1，σ2v2，…，σrvr］　张成的子空间上的投影变换为观测量z，因此唯一确定状态x0至少需要r个观测值。

如果σr＞0，则利用m个观测值z就能估计和确定初始状态x0。(www.xing528.com)

如果σl＋1＝σl＋2＝…＝σr＝0（或者根据工程具体情况，在奇异值很小但不为零时可以将奇异值近似为零），则可将V分成两个子空间，即

其中，V1＝［v1，v2，…vl］，V2＝［vl＋1，vl＋2，…，vr］，V2为矩阵Qs（r）的零空间，在此情况下初始状态x0可表示为

其中，ai（i＝l＋1，…，r）为零空间V2的任意系数，则该系数可有许多种解，这种情况下初始状态x0的某些状态不能利用m个观测量z估计出来。

用奇异值分解分析方法分析时变系统可观测性和可观测度的具体步骤如下。

（1）选取时变系统的第一时间段，令j＝1。

（2）定义Aj和Hj，计算对应这一时间段的可观测性矩阵Qj。

（3）确定当前的SOM，即Qs（j）。

（4）根据时变系统所用的外观测量的精度和大小，计算出这一时间段的外观测量zj。

（5）求出当前时间段可观测性矩阵Qs（j）的奇异值σj。

（6）根据式（3-17），求出每一个奇异值所对应的状态变量x0的大小，根据x0的大小即可判断出哪些变量可观测、哪些变量不可观测、哪些变量的可观测度高、哪些变量的可观测度低。

（7）如果当前时间段不是最后的时间段，继续进行下一时间段的分析，即令j＝2，返回第（2）步，继续进行直至完成分析的全部时间段。

基于SVD的可观测度分析方法能够提供系统的可观测度，且长期应用于工程实际中。但是该方法也存在以下不足。

（1）采用基于SVD的可观测度分析方法时，通过系统奇异值矩阵无法反映出各状态之间的耦合特征，每个状态量得到的可观测度实际为几个相互耦合参数的可观测度。

（2）基于SVD的可观测度分析结果会随着状态量单位的不同发生变化，该方法存在一定的理论缺陷［20］。