等差数列前n项和公式推导

（一）问题导学

在学习等差数列的前n项和之前，先来认识一下什么是“数列的前n项和”。

设计意图：为下面所教授的内容进行知识准备，做好铺垫。

（二）任务驱动

1.提出问题

泰姬陵陵寝中梯形图案中的一百层宝石共有多少颗？

2.教师分析引导

从上而下第一层是1颗宝石，第一层是2颗宝石，第三层是3颗宝石……第一百层是100颗宝石；若第一层是4颗，则直到第一百层是103颗宝石。

设计意图：以泰姬陵故事情景引入，增加趣味性，同时以具体图形展示，有助于学生的直观认识，引起学习兴趣，渗透数形结合思想方法。

教师提问：

（1）它是一个数列吗？你能用数列的形式表示出来吗？

（2）这是一个什么数列？

（3）一共有多少颗宝石？

教师分析：实际上就是求这个等差数列从第1项加到第100项的和，即：4+5+6+…+103=？

教师提问：

思考：4+5+6+…+103=？同学们思考一下，怎样才能快速算出结果呢？

3.多媒体演示

（1）多媒体演示图形变化过程：倒置→合并→平行四边形；

（2）每层数量不相等→每层数量相等。

设计意图：引导学生把未知变已知，从梯形转变为平行四边形，这样得到每层数量相等，可以由原来的加法转化为乘法运算，乘法是加法的简便计算。在此过程中，采用了特殊到一般、数形结合及转换与化归的思想方法，根据学生的认知规律设计教学过程，从梯形到平行四边形，把未知转化为已知。同时引导学生观察发现，梯形图案宝石的计算过程刚好符合梯形的面积计算公式，加深对等差数列前n项和公式的理解，有助于此公式记忆。学生在此学习过程中，以数学思想方法为指导，亲历4+5+6+…+103=？的运算过程，重点关注在4+5+6+…+103=？结果的生成过程上，深度体会理解其结果的生成，深化了该数学学习。

（三）类比迁移

（1）介绍高斯“神速求和”的故事。

（2）教师提问：高斯的算法与刚才我们讲的算法本质是否一致？

设计意图：以故事形式，使学生感受知识的发展，有趣又生动，引发学生的探究欲望。同时，总结学生分析的思路，帮助学生进一步理解高斯算法，为倒序相加的方法渗透埋下伏笔。(www.xing528.com)

（四）探索新知

探索—

同学们，我们求出了前100项等差数列的和，如果求前n项等差数列的和又是多少呢？教师提问：1+2+3+…+（n-1）+n=？

方法：倒序相加法

Sn=1+2+3+…+（n-1）+n　　①

Sn=n+（n-1）+…+3+2+1　　②

①+②得：

2Sn=（1+n）+（2＋n-1）+…+（n-2＋3）+（n-1+2）+（n+1）

=（1+n）+（1+n）+…+（n+1）+（n+1）+（n+1）=n×（1+n）

总结：这里我们用的推导方法实质上就是数学中数列求和的一种方法——倒序相加法。

教师分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和。

教师提问：那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？

设计意图：倒序相加法为公式推导奠定了基础。并且锻炼学生自主学习的能力，思维灵活性和开放性也可以得到训练，真正提升学生的思维品质，向学生渗透从特殊到一般的数学思想方法。

探索二

让学生阐述上述推导过程中所蕴含的思想方法，帮助学生深度理解推导过程；并让学生在理解的基础上进行自主建构，根据相应数学依据对等差数列的前n项和进行其他思想方法的推导，得出自己的研究结论。

当前深度学习与数学思想方法已成为教育领域研究的热点。在学科核心素养要求快速落实与数学课程改革不断推进的背景下，给广大一线的数学教师带来了巨大的教学挑战。本书切合时代背景的要求，本着落实学科核心素养与数学课程改革的教学理念，结合当下教育研究热点与高中数学教材特点，进行基于深度学习的高中数学思想方法教学研究，创新性地将深度学习与数学思想方法教学二者结合，系统研究其教学一般过程与教学策略，设计教学设计，旨在给当下的数学教学提供可参考的教学实践。进行高中数学思想方法的深度教学，教师最大化发挥数学思想方法的指导作用，可以发展学生的高阶数学思维，提升数学素养及数学综合能力，使学生日后更好地学习生活与工作。

【注释】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017：18.

[2]张俊胜.根据高中生认知发展的特点合理安排物理教学内容[J].文理导航（中旬），2011（5）：32.

[3]沈亮.高中数学深度学习四个维度的例析[J].数学教学通讯，2019（06）：41-42.

[4]丁杨华.让学生亲历数学“再创造”的过程[J].江苏教育研究，2014（29）：45-47.

[5]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017：13.

[6]虞秀云，彭玉洁，黄润华.聚焦真实问题递进统计教学——抛锚式教学下“最小二乘估计”课例赏析[J].中国数学教育（高中版），2020（03）：36-39.