对数的发明：高中数学教学研究成果

1.HPM教学片段

“对数与发明”是同学们课后的阅读材料，而且整篇内容全是文字性理论.但实际上，对于对数概念的引入以及对数的学习，我们都可以利用阅读材料中提供的数学史料，以使整个课堂丰富生动且有吸引力，让学生紧跟古代数学家发明对数的方法来发现对数并学习对数.

以下是具体的两个教学片段.

教学片段一：

师：同学们，上新课之前，请大家在不使用计算器的情况下，动手快速计算以下式子：

（1）32×256；

（2）4056÷128；

（3）163；

（4）

对于（1）（2）（3），相信同学们都可以较快地计算，对吧？那么对于(4)呢？可以很快吗？

生：不行.

生：因为大家还没有学过数字比较大的开方运算，是吧？那有没有什么比较快速的方法呢？

事实上，同学们现在遇到的这些问题对于16世纪的天文学家来说可是小菜一碟.那时天文学蓬勃发展，科学家们每天都要处理庞大的天文数据.可是当时还没有计算机，他们只能从运算方法入手去提高效率.那么他们又是怎么做的呢？观察图7-13中的两行数，你们能不能发现德国数学家斯蒂菲尔所发现的结论呢？

图7-13　两行数

生：第二行数等于第一行数的2的n次方!

师：同学们太棒了！也就是如果把第一行数记作n，第二行数记作f(n)，实际上f(n)=2n.那么，这个规律能不能帮助我们快速计算以上整式呢？

生：可以！

（1）32×256=25×28=213=8192；

（2）4056÷128=212÷27=25=32；

（3）163=(24)3=212=4096；

（4）

师：对啦，借助这个表格，几秒钟便可以口算出来了，那么为什么能这么简便呢？它们的共同特点是什么？

生：我们是把每一个要算的整数写成了2的n次方！

师：很好！德国数学家斯蒂菲尔在1544年出版的《综合算术》一文中就阐述了这样的对应关系和运算性质！

我们是把整数的乘法、除法、乘方、开方运算转化成与它们对应指数的加法、减法、乘法、除法，从而提高了运算效率！(www.xing528.com)

接着，请同学们继续思考，132×156能不能借助这个表格来进行快速运算？?

生：不可以！这个表格中没有132和156！

师：好，那现在我借助其他计算工具得到132≈27.04,156≈27.29.对刚刚的数据做一个修改，补充了两组.如图7-14所示，还能得到吗？

图7-14　修改后的两行数

生：132×156≈20592！

师：是的！虽然这个结果有误差，不过它能给当时的数学家们一个重要的启示.如果能制作出足够多组这样数字的表格，那么就可以利用它来进行很多较大整数的运算，甚至是开方运算！

苏格兰数学家纳皮尔是第一个在1614年做出这样表格的！不过他选取的底数比较复杂，后来纳皮尔的朋友布里格斯与他商定，把这个表格改成了底数为10，这符合我们使用十进制的习惯，在数字计算上具有更大的优越性.

那么同学们想想如果你们也来编写这样的表格，它计算的关键是什么呢？

生：令一个数等于10x，然后再把x求出来！

师：非常好，通过前面的训练，我们发现了这个规律.那么如果现在选择的底数是2，就要写成数N=2x，再把x求出来.一般地，我们以a为底数，在N=ax这个关系中，怎么样才能准确地把x值表示出来呢？

教学片段二：

师：同学们，这个就是我们本节课要讲的一个非常重要的概念：对数.

一般地，如果说ax=N(a＞0,a≠1)，那么我们就把数x叫作以a为底N的对数，记作x=logaN(a＞0,a≠1,N＞0).其中，a叫作对数的底数，N叫作真数.注意：在对数式中，N＞0，所以负数和0没有对数.

同学们，我们刚刚学习了纳皮尔做出对数表、发明对数的过程，但教材中的这个定义却是由瑞士数学家欧拉给出的，而且是在对数发明的一百多年后！这是为什么呢？现在，请大家仔细观察根据对数的定义，对数式是由什么得到的？

生：指数式！

师：对！因为在数学史上，对数先于指数发明！所以纳皮尔才不能给出教材上的定义.那现在你们看，对数式和指数式之间存在什么关系呢？

生：指数式可以化为对数式.

师：那对数式可以化为指数式吗？

生：也可以！

师：很好！即当a＞0,a≠1时，ax=N⇔x=logaN.所以本节课我们还得继续学习指数式和对数式两者之间是如何进行互化的.请看教材上63页的练习题.

2.教学分析

以上第一个教学片段是根据数学史上对数的发明历程来引入对数概念的.随着16世纪社会飞速地发展，急需改进数学计算功能，以降低工作量.纳皮尔由斯蒂菲尔阐述的运算体系得到了启示，发明了对数.教学片段重现了数学家的思维过程，一步一步引导学生通过表格简化计算，发现规律，“发明”对数.

第二个教学片段是引入对数的定义后，通过对其定义的发明历程来引导学生发现它和指数之间的关系，从而学习对数式和指数式两者之间的互化过程.这样的教学过程自然流畅，还能让学生知道对数的发明是先于指数的，感受对数发明的艰辛与伟大.

综上所述，这两个教学片段均采用HPM的视角，用对数的发明历程来引入并学习对数的概念，但他没有依照教材上的方式从指数式直接引入对数式，而是让同学们紧跟数学家斯蒂菲尔、纳皮尔和他朋友布里格斯的思路，遵循历史的次序重演火热的思维发展过程.这也更符合学生的认知规律，从而让他们更容易地吸收并接纳新知识.而对于知识点：指数式和对数式之间的相互转化，课堂也是通过纳皮尔和欧拉的思维过程进行引导的，让同学们自主发现了两者之间的关系，获得学习的成就感.

数学史料不仅给课堂增加了趣味性，也让我们看到了知识求索过程中数学家们的艰辛与不易.