实践取向的高中数学教学研究

前面主要通过问卷分析和访谈分析，了解并分析了教师对“作为函数模型的指数函数”的课程观、教学观和应用价值观.为更进一步研究教师对指数函数模型的实际教学行为，比如，教师是否做到从生活实例中引出指数函数的概念，是否给学生介绍了指数型函数以便来辨析指数函数，是否更注重指数函数图像的教学，等等，我们选取了“指数函数的概念和图像”教学设计中的某些教学片段以便进行研究和分析.

片段一：

【教材分析】

指数函数是重要的基本初等函数之一，它为后面学习对数函数和幂函数提供了可借鉴的研究方法，它在生活及生产中有广泛的应用，所以指数函数是学习的重点.

【学情分析】

指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用.教材中给出了两个实例：GDP的增长问题和C14的衰减问题，目的是让学生感受指数函数的实际背景.这里，本节课引用“国际象棋发明”中的一个有趣故事，来激发学生的求知欲望.

通过“教材分析”和“学情分析”，我们可发现：教师不仅对指数函数在教材中的地位和作用十分清楚，而且对指数函数在生活中的普遍存在性和应用价值也十分关注.他能把生活中的问题与指数函数发生联系，如GDP的增长问题，这正体现了指数函数模型来源于实际生活中.可见，教师对指数函数模型的背景知识和应用价值认识较高.同时，结合了学生的已有知识经验，创设情境，探究学习.

片段二：

【教学目标】

（1）知识与技能：让学生感受指数函数的实际背景；归纳概括出指数函数的概念；能画出具体指数函数的图像；能够初步记忆、理解指数函数的图像.

（2）过程与方法：体验抽象概括指数函数概念的过程；会利用指数函数图像来研究其性质，体会数形结合思想方法的作用；会从函数的图像和解析式角度来研究函数性质的数学方法.

（3）情感、态度和价值观：体会数学活动中的特殊到一般思想、类比思想、数形结合思想、分类讨论思想之美；培养学生主动学习、合作交流的意识.

【教学重难点】

（1）重点：指数函数概念、图像和性质.

（2）难点：指数函数概念，如何由图像和解析式归纳指数函数的性质.

通过“教学目标”和“教学重难点”，可以发现：教师比较重视指数函数的实际背景.能从生活实例中，抽象概括出指数函数的概念，突显了指数函数模型的生活背景.同时，还把指数函数的图像作为教学重难点，从图像中归纳指数函数的性质，体现了图像的重要性及关键作用.

片段三：

【创设情境，引出新课】

多媒体演示：国际象棋起源于古印度.相传，国王为奖励发明国际象棋的宗师，问他需要什么奖励，而这位宗师金银财宝都不要，只要求国王在象棋盘中的第一个方格中放1粒麦子，第二个方格中放2粒麦子，第三个方格中放4粒麦子（共64个方格）……，后面的方格中都放前一个方格中小麦粒数的两倍，我只要棋盘中所有的麦粒数就满足了.国王听后，暗想我拥有全国的小麦，觉得这个要求很容易办到，于是痛快地答应了宗师的要求.

师：同学们觉得国王能够兑现他的诺言吗？

师：我们可以计算最后一个方格中的小麦粒数为多少？（引导学生探究规律）

生：第一个格子可看成20，第二个格子是21，第三个格子是22,……，第64个格子是

师：到底有多少粒？有多重呢？

师：公布事先算出的结果：9 223 372 036 854 775 808.约9百亿亿粒，折合为2770亿吨.而美国的数据报告显示，2012年到2013年度全球小麦产量是6.6亿吨.若以现在的生产力，则需四百多年才能达到.也就是说，全球人类只产出不消费都需四百多年.可见，国王虽拥有无比财富，然而还不能实现他对宗师的诺言.

生：大家都被这个数字惊呆了！

师：如果我想知道第x+1个方格中的麦粒数y，该怎么表示呢？

生：y=2x.（学生合作交流、得出结果）

师：这个x有限制条件吗？（引导学生注意x的取值范围）

生：0≤x≤63.（学生独立思考）

师：好的！回答得不错！

教师进行教学设计时，以一件关于国际象棋发明的趣闻轶事拉开帷幕，创设情境，鼓励学生大胆猜想，引导学生积极探索麦粒数的变化规律，得到y=2x表达形式（新的函数形式），从而让学生体会其爆炸增长的变化过程，形成对指数增长的初步认识.

片段四：

【指数函数的定义】

师：同学们观察y=2x和本章开头问题2中C14的衰变问题：这两个函数有什么相同点或共同特征？

生：它们的形式好类似；都是函数……

师：不错！它们首先都是函数，其次它们的结构形式相似.如果我用一个字母a来代替底数2和且用x表达，则它们形如同一个式子y=ax.

师：像这种函数，我们以前学过没有？

生：没有.

师：那好！今天我们就专门来学习并研究它.首先需要给它取个名，今后好称呼它，是吧？

生：热论纷纷，积极参与.预习的同学说，叫指数函数吧.（还有其他回答）

师：我们发现它的解析式形式像我们学过的指数式，且它的自变量x也在指数位置，那我们就叫它指数函数吧.（初步归纳出指数函数概念）

师：我们知道函数都有定义域，离开定义域研究函数是毫无意义的.那么，指数函数的定义域是什么呢？（老师引导发现，学生独立思考）

师：我们前面学习了指数与指数幂的运算，知道指数幂的指数可以取任意实数R，那么指数函数的自变量x可以取哪些值？

生：所有实数.

师：对了！指数函数的自变量x可以取所有实数，即它的定义域为R.

师：那么指数函数就是形如的函数了吗？（启发学生思考是否有限制条件）(www.xing528.com)

生：如果此式就无意义了.

师：非常好！这位同学例子举得十分到位.（对爱思考的学生要注意鼓励，以激发其他同学的积极性）

师：那也就是说a不能取负数了.还有其他限制条件吗？（继续激发学生积极思考）

生：所以

师：对了！如果x取负数的话，还有限制吗？

生：没有了.

师：那如果a=1的话，会出现什么情况？

生：函数值恒为1了.

师：如果对这个常值函数，性质简单，我们就不做研究了，所以规定a≠1.

让学生归纳概括出指数函数的完整定义：（老师做补充）

一般地，形如的函数叫作指数函数.

例1：判断下列函数是否为指数函数.

（1）

设计意图：对指数函数概念进行正例解析和反例辨析，让学生加深对概念的理解.

解析：只有（4）为指数函数；（1）（2）（3）都不是指数函数；但（1）（3）是指数型函数.引出指数型函数：形如y= kax且a≠1)的函数叫指数型函数.

通过这几个实例，归纳概括出指数函数的概念，以便对其概念进行解析和辨析.在辨析指数函数概念时，引出指数型函数的概念，使学生能分清这两者之间的关系.这对学生理解和掌握指数函数的概念起着重要的作用，也为后面我们建立指数型函数模型去解决生活问题做了铺垫，如教材中本节课的例8“人口增长模型”，形成前后呼应.

片段五：

【指数函数的性质】

师：我们在第一章中学习了函数的哪些基本性质？

生：函数的单调性、奇偶性和最值.

师：我们是从函数的哪些角度去研究其性质的？

生：可以从函数的图像、表格和解析式三个角度去研究.（老师引导启发学生）

师：对！我们研究函数性质，主要是从这三个角度去研究.其中体现了数学中很重要的思想方法：数形结合思想.

设计意图：引导学生回顾函数有哪些基本性质？用什么方法去研究这些性质？

师：分组让学生画出2xy=和的大致图像.

设计意图：复习描点法作图；让学生体验具体指数函数图像的趋势，形成初步的感性认识.

师：用多媒体演示y=2x和的图像，让学生观察是否与自己画的图像相似.再用“几何画板”展示3y=x和等多个具体指数函数的图像，让学生观察这些图像有什么共同特征.

（引导学生从图像伸延情况、图像位置、对称性、增减性、特殊点（拐点）等去观察.）

设计意图：通过主动参与学习活动，让学生从感性认识上升为理性认识，由形象具体思维上升到抽象概括思维，体验知识的发生过程.使用“几何画板”作图，不但形象直观，图像也更准确，而且学生很容易发现当底数a变化时，图像呈不同程度的变化，且当时图像变化趋势明显；需要考虑把底数a分类来研究，从而突破难点.

师：引导学生从指数函数的解析式角度，分析得到定义域、值域.

最后师生共同完成表1-6.

表1-6　指数函数的图像及性质

教学优点：借助多媒体来辅助指数函数图像教学，可使学生更直观、更深刻地体会指数函数增减的变化趋势，形成感性认识；用几何画板动态演示出改变底数a时图像的变化过程，可使学生直观地观察到指数函数的单调性是与底数a有关的，从而突破教学难点.同时，也改善了传统作图法的弊端.

教学不足：此处是从特殊到一般，通过不完全归纳得出指数函数的图像的.又从图像得到指数函数的单调性，即指数函数模型的本质，尽显了数形结合思想之美.但教师未能从此进一步道破指数函数所描述的模型特征：“描述增减变化的数学模型”；未能从函数模型角度将其归类：它与一次函数、反比例函数、二次函数等是同一类函数模型，而仅是对指数函数的性质进行了归纳和总结.

片段六：

【巩固练习，提升能力】

例2：已知指数函数的图像经过点(3,π)，求的值.

分析：要求的值，需要先求出指数函数的解析式，也就是先求出a的值.根据其图像经过点(3,π)这一条件，即可求得底数a的值.

解答略.

设计意图：用待定系数法来求函数解析式，让学生体会方程思想在函数中的应用；只要底数a确定了，指数函数的解析式也就确定了，从而明确了指数函数的确定因素.

课堂练习：教材第58页第1、2、3题.

作业布置：教材第59页第5、6题.

在例题讲解和知识训练中，教师的侧重点还是放在了指数函数模型的“解析式”和“定义域”上，这说明教师只注重了指数函数在数学知识中的应用，而忽视了在生活中的应用.为了突出指数函数模型在生活中的广泛应用性，教师可以让学生试做搜集生活中呈“指数增长或减少变化”的事或物.

综上所述，大部分教师对指数函数作为函数模型的课程理念认识较高.教学中，能结合函数模型的实际背景引出指数函数概念，并将其与指数型函数区别开；同时，把多媒体技术与图像教学有机地整合起来，提高了作图的精确度，突破了教学难点.但是，教师未能从函数模型角度将其与同类函数模型进行比较，并且在例题和作业中，也没有体现指数函数模型在生活中的应用.