高中数学教学研究：实践取向对模型函数的建议

根据上述研究结论，我们认为：

第一，函数教学需从现实生活中归纳概括出函数的概念，再把函数应用于现实生活中，去解决简单的实际问题.这就是荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal）提出的：数学教学必须“源于生活，寓于生活，用于生活”.

第二，函数教学，需凸显函数的模型特征，淡化不必要的形式训练，加深对函数的现实认识.

第三，突出函数思想方法的教学，特别是对于数列教学，要突出函数的思想.

1.作为函数模型的指数函数的教学建议

1）以科学的课程观为指导

指数函数是学生在学习了函数概念并研究了函数的基本性质后，紧接着学习的第一个基本初等函数.在知识生成过程中，指数函数起着承前启后的作用.也就是说，学习指数函数不仅是对前面学习的函数概念的加深认识和理解，而且也为后面学习对数函数、幂函数和三角函数等提供了类比研究的方法.从数学思想方法上讲，这是一个演绎的过程，从函数概念到具体的函数，即从一般到特殊的学习研究.可见，指数函数在课程安排上处于非常重要的地位.

2）以恰当的教学方法为手段

《普通高中数学课程标准》要求学生把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，结合实际问题，感受运用数学概念建立数学模型的过程和方法，强调指数函数、对数函数和幂函数是三类不同的函数增长模型.因此，教师在指数函数教学中，应注重指数函数模型的知识背景，从生活实例中寻找指数函数模型，创设情景，引出指数函数概念.让学生体验知识的生成过程，体会指数函数模型在我们实际生产和生活中的广泛存在性；利用现代信息技术，借助几何画板来画指数函数的图像，能使图像更精确、更直观，让学生对指数函数形成感性认识.最重要的是，关于“函数”的教学，关键在于对其“图像”的教学，因为我们常从图像角度来研究一个函数的性质.这也更符合学生现阶段的认知水平和心理特征.利用几何画板作图像，还能生成动态的图像，让学生通过观察随着指数函数的底数a的变化，图像也随之变化，进而归纳概括出指数函数的单调性是与底数a有关的，并对指数函数进行分类研究（0＜a＜1 和a＞1）.学生在观察图像时，不知不觉地就突破了本节课的难点.可见，现代信息技术在教学中也产生了至关重要的作用；在指数函数图像教学中，不仅仅是从图像得到基本性质即可，还要从图像揭示指数函数刻画的是怎样的函数模型.

3）通过实际应用来体现

数学模型的原型源于现实生活，而又高于现实生活.指数函数模型可以从生活实例中抽象出来，反过来，它又可刻画和解决包括原型在内的更广泛的一类问题.教学时，教师不能仅仅局限在数学知识的训练上，还应搜集呈指数增减的相关问题或创造性地设计呈指数增长的有趣问题（如生活垃圾增长），让学生参与“数学建模”活动，利用指数函数知识来解决问题，以培养学生解决实际问题的能力，这正体现了数学知识的应用价值.也就是说，让学生不但要知道指数函数“是什么”，而且还要知道用它能“干什么”.

2.作为函数模型的三角函数的教学建议

1）树立正确的课程观

三角函数内容安排在数学4必修第一章中，根据普通高中数学必修模块的教学顺序（1-4-5-2-3），它刚好是学生学完基本初等函数（Ⅰ）：指数函数、对数函数、幂函数和函数的应用后，继续学习的另一种重要的基本初等函数.我们可类比研究基本初等函数（Ⅰ）的方法来研究三角函数，以便让学生掌握研究函数的方法并体会其中的数学思想，进而加深对函数本质的认识.《普通高中数学课程标准》将三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他学科中都具有重要的作用.为了突出这一本质内容，课程删减了一些内容：如任意角的余切、正割、余割和反三角函数等；同时也降低了一些要求：如在三角恒等变形中，不要求掌握积化和差、和差化积和半角公式等，不要求做复杂、技巧性强的恒等变形等.因此，教师应理解、吃透新课程，抛开旧观念，树立新思想，对削减的内容要“放得下”，同时对新增的知识也要能“拿得起”.还有，高中三角函数无论从内容和应用上讲，还是从三角函数的发展史看，都是对初中三角函数的扩充，教师应具有这种认识观.

2）突出模型的特征教学

学习数学模型的最好方法是经历数学建模的过程，即首先从大量的实际背景中概括抽象出三角函数的概念（数学模型），然后利用数学方法研究三角函数的性质，最后运用这些数学模型去解决与其类似的问题.因此，教师在三角函数教学中，应树立一种数学模型的观念，用数学模型的观点统筹这些内容.(www.xing528.com)

进行三角函数教学时，教师应多关注以下两点：（1）根据学生的生活经验，创设丰富的情境，如通过物理学中的单摆、圆周运动，以及生活中的潮汐现象、四季变化、一星期天数变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在性，进而认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的数学模型以及三角函数模型的意义.（2）注意三角函数模型的实际应用，即运用三角函数来刻画和描述周期变化的现象，建立简单数学模型，解决一些简单的实际问题.

在三角函数教学中，教师要突出其周期性.如在定义任意角的三角函数时，若利用单位圆和角的终边来定义，只要角的终边相同，它们的三角函数值就相等；又如，在正弦函数、余弦函数的图像教学中，先作出[]0,2π区间上的图像，然后由其周期性，得到整个实数R集上的图像，并通过图像直观地感受周期性及其重要意义；再如，要得到三角函数在R上的所有单调区间、对称轴或对称中心、最值，这些结论都依赖于周期性.

从关于三角函数模型的问卷分析中，发现教师对三角函数周期性的认知程度与其任教的学校类别有显著性差异.在城市学校任教的教师对周期性的认知程度明显高于在农村学校任教的教师.我们可从以下几方面来提高农村教师的教学观：教师培训时，建议增多农村教师的名额，为他们提供更多的专业培训机会；组织城市教师“下乡送教”活动，为农村教师提供学习、交流的平台；在城市学校和城郊学校、城郊学校和乡镇学校之间进行教师轮岗制试点，实现优师优资共享，以先进教育理念带动落后教育理念，共同促进教育发展.与此同时，政府应加强农村教育建设，引进高素质人才，提高师资队伍建设.

3）增加三角函数的实际应用

因为三角函数模型在数学和其他学科以及实际生产、生活中都有着广泛的应用，所以教师应注重培养学生实际操作和解决问题的能力.在这个内容教学中，可以插入“数学探究”或者“数学建模”活动，鼓励学生综合运用基本初等函数模型解决实际问题.例如，可以提供一个简单的实际问题背景及一些数据信息，让学生选择适当的初等函数模型来刻画和解决该问题.在此过程中，应鼓励学生使用计算机进行函数拟合，以帮助他们探索和解决问题.

3.作为函数模型的数列的教学建议

1）加深对数列本质的认识

数列是刻画离散现象的数学模型.离散现象在自然界中是普遍存在的，人们常常通过离散现象去认识连续现象，这就使得数列在数学中占有重要的地位，同时也成为高中数学中的经典内容，成为高等数学中研究的重要内容.

《普通高中数学课程标准》把等差数列和等比数列作为两种特殊的数列来学习，强调在具体的问题情境中发现等差关系或等比关系，既突出了问题意识，又有助于学生对数学本质的认识.体会等差数列与一次函数、等比数列与指数型函数的关系，实现了数列与函数的融合.

2）融入函数的思想和方法

在教学中，要通过日常生活中的实例来引入并讲解数列的概念和几种表示方法.要特别突出数列是一种特殊的函数，如通过列数（列表）、图像、通项公式（解析式）来表示数列，让函数的“身影”随处可见，并将函数融入其中.切不可将数列独立于函数之外，单纯地进行讲解.

组织学生探究等差数列、等比数列与一次函数、指数型函数之间的关系，让学生从函数观念、连续与离散关系的角度来认识数列，突出其本质.

3）体现数列的生活应用

引导学生做必要的基本技能训练，让学生掌握数列中各量之间的基本关系，但要控制难度和复杂度，不要过度地搞一些“计算烦琐，人为技巧化”的难题和偏题.应关注学生对数列模型本质的理解，注重实际应用.

多从实际生活中列举实例，如贷款、利率、人口增长、放射性物质的衰变等，让学生从中抽象出数列模型，并应用数列知识解决实际问题.又如《普通高中数学课程标准》里提供的关于教育储蓄的案例，应组织学生进行研究性学习.教师要以此为例，引导学生从实际生产和社会生活中寻找更广泛的探究题材，以便真正将“认识数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力”这一新课程的基本理念落实到数学教学中.